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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Hard Level 18

विरोधाभास विधि से \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय रिया ने दिखाया कि सरलतम रूप में लिखे गए भिन्न \(a/b\) में \(a\) और \(b\), दोनों 3 से विभाज्य हैं। यह निष्कर्ष असंभव क्यों है?

While proving the irrationality of \(\sqrt{3}\) by contradiction, Riya shows that in the fraction \(a/b\) written in lowest terms, both \(a\) and \(b\) are divisible by 3. Why is this conclusion impossible?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
Correct answer and explanation
Correct Answer

A. सरलतम रूप वाले भिन्न के अंश और हर में 3 जैसा कोई समान गुणनखंड नहीं हो सकता।A fraction in lowest terms cannot have a common factor such as 3 in its numerator and denominator.

Explanation

Simple Explanation

यदि \(a^2=3b^2\), तो 3, \(a^2\) को विभाजित करता है; अतः 3, \(a\) को भी विभाजित करेगा। \(a=3k\) रखने पर \(b^2=3k^2\), इसलिए 3, \(b\) को भी विभाजित करता है। यह \(a/b\) के सरलतम रूप में होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: विरोधाभास के लिए समान गुणनखंड स्पष्ट लिखें। / From \(a^2=3b^2\), 3 divides \(a^2\), so 3 divides \(a\). Put \(a=3k\); then \(b^2=3k^2\), so 3 also divides \(b\). This contradicts \(a/b\) being in lowest terms. Exam tip: state the common factor clearly to complete the contradiction.

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Correct Answer: A. सरलतम रूप वाले भिन्न के अंश और हर में 3 जैसा कोई समान गुणनखंड नहीं हो सकता। / A fraction in lowest terms cannot have a common factor such as 3 in its numerator and denominator.. Explanation: यदि \(a^2=3b^2\), तो 3, \(a^2\) को विभाजित करता है; अतः 3, \(a\) को भी विभाजित करेगा। \(a=3k\) रखने पर \(b^2=3k^2\), इसलिए 3, \(b\) को भी विभाजित करता है। यह \(a/b\) के सरलतम रूप में होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: विरोधाभास के लिए समान गुणनखंड स्पष्ट लिखें। / From \(a^2=3b^2\), 3 divides \(a^2\), so 3 divides \(a\). Put \(a=3k\); then \(b^2=3k^2\), so 3 also divides \(b\). This contradicts \(a/b\) being in lowest terms. Exam tip: state the common factor clearly to complete the contradiction.