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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Hard Level 18

विरोधाभास विधि से \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय, यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में माना जाए, तो \(p\) और \(q\) के बारे में कौन-सा निष्कर्ष विरोधाभास उत्पन्न करता है?

While proving the irrationality of \(\sqrt{3}\) by contradiction, if \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) is assumed to be in lowest terms, which conclusion about \(p\) and \(q\) produces the contradiction?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
Correct answer and explanation
Correct Answer

A. Both \(p\) and \(q\) are divisible by 3

Explanation

Simple Explanation

\(3q^2=p^2\) से \(p^2\), और इसलिए \(p\), 3 से विभाज्य होता है। \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\), अतः \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह सरलतम रूप के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: वर्ग पर विभाज्यता से मूल संख्या की विभाज्यता पहचानें। / From \(3q^2=p^2\), \(p^2\), hence \(p\), is divisible by 3. Put \(p=3k\); then \(q^2=3k^2\), so \(q\) is also divisible by 3. This contradicts lowest terms. Exam tip: use prime divisibility of a square carefully.

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Correct Answer: A. Both \(p\) and \(q\) are divisible by 3. Explanation: \(3q^2=p^2\) से \(p^2\), और इसलिए \(p\), 3 से विभाज्य होता है। \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\), अतः \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह सरलतम रूप के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: वर्ग पर विभाज्यता से मूल संख्या की विभाज्यता पहचानें। / From \(3q^2=p^2\), \(p^2\), hence \(p\), is divisible by 3. Put \(p=3k\); then \(q^2=3k^2\), so \(q\) is also divisible by 3. This contradicts lowest terms. Exam tip: use prime divisibility of a square carefully.