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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Hard Level 17

यदि (x,y) सहभाज्य हैं और दोनों सम सिद्ध हो गए, तो (\gcd(x,y)) को लेकर सही विरोधाभास कौन-सा है?

If (x,y) are coprime and both are proved even, what is the correct contradiction about (\gcd(x,y))?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
Correct answer and explanation
Correct Answer

A. \(\gcd(x,y)=1\) और \(\gcd(x,y)\ge 2\) दोनों एक साथ सत्य नहीं हो सकते\(\gcd(x,y)=1\) and \(\gcd(x,y)\ge 2\) cannot both be true

Explanation

Simple Explanation

सहभाज्य संख्याओं के लिए \(\gcd(x,y)=1\) होता है। लेकिन यदि \(x\) और \(y\) दोनों सम हैं, तो 2 दोनों का उभयनिष्ठ गुणनखंड है; इसलिए \(\gcd(x,y)\ge 2\) होगा। अतः एक ही समय में \(\gcd(x,y)=1\) और \(\gcd(x,y)\ge2\) होना विरोधाभास है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B, C और D सहभाज्य तथा सम संख्याओं के इस निष्कर्ष से प्राप्त नहीं होते। परीक्षा-युक्ति: विरोधाभास विधि में प्रारम्भिक मान्यता से निकला निष्कर्ष यदि किसी निश्चित तथ्य, जैसे \(\gcd(x,y)=1\), के विपरीत हो, तो प्रारम्भिक मान्यता असत्य होती है। / For coprime numbers, \(\gcd(x,y)=1\). However, if both \(x\) and \(y\) are even, then 2 is a common factor of both, so \(\gcd(x,y)\ge 2\). Thus, \(\gcd(x,y)=1\) and \(\gcd(x,y)\ge2\) cannot hold simultaneously, making option A correct. Options B, C, and D do not follow from the numbers being coprime and even. Exam tip: In a proof by contradiction, if an assumption leads to a result that conflicts with a known fact such as \(\gcd(x,y)=1\), the assumption must be rejected.

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यदि (x,y) सहभाज्य हैं और दोनों सम सिद्ध हो गए, तो (\gcd(x,y)) को लेकर सही विरोधाभास कौन-सा है? / If (x,y) are coprime and both are proved even, what is the correct contradiction about (\gcd(x,y))?

Correct Answer: A. \(\gcd(x,y)=1\) और \(\gcd(x,y)\ge 2\) दोनों एक साथ सत्य नहीं हो सकते / \(\gcd(x,y)=1\) and \(\gcd(x,y)\ge 2\) cannot both be true. Explanation: सहभाज्य संख्याओं के लिए \(\gcd(x,y)=1\) होता है। लेकिन यदि \(x\) और \(y\) दोनों सम हैं, तो 2 दोनों का उभयनिष्ठ गुणनखंड है; इसलिए \(\gcd(x,y)\ge 2\) होगा। अतः एक ही समय में \(\gcd(x,y)=1\) और \(\gcd(x,y)\ge2\) होना विरोधाभास है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B, C और D सहभाज्य तथा सम संख्याओं के इस निष्कर्ष से प्राप्त नहीं होते। परीक्षा-युक्ति: विरोधाभास विधि में प्रारम्भिक मान्यता से निकला निष्कर्ष यदि किसी निश्चित तथ्य, जैसे \(\gcd(x,y)=1\), के विपरीत हो, तो प्रारम्भिक मान्यता असत्य होती है। / For coprime numbers, \(\gcd(x,y)=1\). However, if both \(x\) and \(y\) are even, then 2 is a common factor of both, so \(\gcd(x,y)\ge 2\). Thus, \(\gcd(x,y)=1\) and \(\gcd(x,y)\ge2\) cannot hold simultaneously, making option A correct. Options B, C, and D do not follow from the numbers being coprime and even. Exam tip: In a proof by contradiction, if an assumption leads to a result that conflicts with a known fact such as \(\gcd(x,y)=1\), the assumption must be rejected.