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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Hard Level 16

\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में यदि कोई छात्र केवल \(a\) सम लिखकर प्रमाण समाप्त कर दे, तो त्रुटि क्या है?

In the proof of \(\sqrt{2}\), if a student ends the proof after only writing \(a\) is even, what is the error?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
Correct answer and explanation
Correct Answer

A. विरोधाभास प्राप्त करने के लिए \(b\) को भी सम सिद्ध करना आवश्यक हैTo obtain a contradiction, \(b\) must also be proved even

Explanation

Simple Explanation

विरोधाभास विधि में \(\sqrt{2}=a/b\) मानकर \(a\) और \(b\) को सहभाज्य लिया जाता है। समीकरण से पहले \(a\) के सम होने का निष्कर्ष मिलता है, फिर इसे वापस रखने पर \(b\) भी सम सिद्ध होता है। केवल \(a\) का सम होना सहभाज्य होने की शर्त का विरोधाभास नहीं है; दोनों के सम होने पर उनका 2 उभयनिष्ठ गुणनखंड होगा। परीक्षा टिप: प्रमाण में विरोधाभास वाला अंतिम निष्कर्ष अवश्य लिखें। / In the contradiction proof, we assume \(\sqrt{2}=a/b\), where \(a\) and \(b\) are coprime. The equation first shows that \(a\) is even; substituting this result back then shows that \(b\) is also even. Saying only that \(a\) is even does not contradict the coprime condition. The contradiction arises because both numbers would have 2 as a common factor. Exam tip: always state the final contradiction explicitly in a proof.

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Correct Answer: A. विरोधाभास प्राप्त करने के लिए \(b\) को भी सम सिद्ध करना आवश्यक है / To obtain a contradiction, \(b\) must also be proved even. Explanation: विरोधाभास विधि में \(\sqrt{2}=a/b\) मानकर \(a\) और \(b\) को सहभाज्य लिया जाता है। समीकरण से पहले \(a\) के सम होने का निष्कर्ष मिलता है, फिर इसे वापस रखने पर \(b\) भी सम सिद्ध होता है। केवल \(a\) का सम होना सहभाज्य होने की शर्त का विरोधाभास नहीं है; दोनों के सम होने पर उनका 2 उभयनिष्ठ गुणनखंड होगा। परीक्षा टिप: प्रमाण में विरोधाभास वाला अंतिम निष्कर्ष अवश्य लिखें। / In the contradiction proof, we assume \(\sqrt{2}=a/b\), where \(a\) and \(b\) are coprime. The equation first shows that \(a\) is even; substituting this result back then shows that \(b\) is also even. Saying only that \(a\) is even does not contradict the coprime condition. The contradiction arises because both numbers would have 2 as a common factor. Exam tip: always state the final contradiction explicitly in a proof.