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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Hard Level 16

विरोधाभास विधि में मान लें कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। इस मान्यता से विरोधाभास क्यों उत्पन्न होता है?

In the proof by contradiction, assume that \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime integers. Why does this assumption lead to a contradiction?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
Correct answer and explanation
Correct Answer

A. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हो जाते हैंBoth \(p\) and \(q\) become divisible by 3

Explanation

Simple Explanation

\(3q^2=p^2\) से \(p\) 3 से विभाज्य है। \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\), इसलिए \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: दोनों पदों की विभाज्यता जाँचें। / From \(3q^2=p^2\), \(p\) must be divisible by 3. Put \(p=3k\); then \(q^2=3k^2\), so \(q\) is also divisible by 3. This contradicts coprimality. Exam tip: check divisibility of both terms.

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विरोधाभास विधि में मान लें कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। इस मान्यता से विरोधाभास क्यों उत्पन्न होता है? / In the proof by contradiction, assume that \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime integers. Why does this assumption lead to a contradiction?

Correct Answer: A. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हो जाते हैं / Both \(p\) and \(q\) become divisible by 3. Explanation: \(3q^2=p^2\) से \(p\) 3 से विभाज्य है। \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\), इसलिए \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: दोनों पदों की विभाज्यता जाँचें। / From \(3q^2=p^2\), \(p\) must be divisible by 3. Put \(p=3k\); then \(q^2=3k^2\), so \(q\) is also divisible by 3. This contradicts coprimality. Exam tip: check divisibility of both terms.