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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Hard Level 16

एक विद्यार्थी \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) मानता है, जहाँ \(a\) और \(b\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। सिद्ध करने पर उसे मिलता है कि \(a\) और \(b\) दोनों सम हैं। इससे कौन-सा निर्णायक निष्कर्ष निकलता है?

A student assumes that \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\), where \(a\) and \(b\) are coprime integers. On proceeding with the proof, the student finds that both \(a\) and \(b\) are even. What decisive conclusion follows?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
Correct answer and explanation
Correct Answer

B. \(a\) और \(b\) सह-अभाज्य नहीं हैं, इसलिए प्रारम्भिक मान्यता गलत है\(a\) and \(b\) are not coprime, so the original assumption is false

Explanation

Simple Explanation

यदि \(a\) और \(b\) दोनों सम हैं, तो दोनों 2 से विभाज्य हैं; अतः वे सह-अभाज्य नहीं हो सकते। यह मूल मान्यता का विरोधाभास है, इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। परीक्षा टिप: सह-अभाज्य होने की शर्त अवश्य जाँचें। / If both \(a\) and \(b\) are even, each is divisible by 2, so they cannot be coprime. This contradicts the original assumption; hence \(\sqrt{2}\) is irrational. Exam tip: always use the lowest-terms condition to identify the contradiction.

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एक विद्यार्थी \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) मानता है, जहाँ \(a\) और \(b\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। सिद्ध करने पर उसे मिलता है कि \(a\) और \(b\) दोनों सम हैं। इससे कौन-सा निर्णायक निष्कर्ष निकलता है? / A student assumes that \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\), where \(a\) and \(b\) are coprime integers. On proceeding with the proof, the student finds that both \(a\) and \(b\) are even. What decisive conclusion follows?

Correct Answer: B. \(a\) और \(b\) सह-अभाज्य नहीं हैं, इसलिए प्रारम्भिक मान्यता गलत है / \(a\) and \(b\) are not coprime, so the original assumption is false. Explanation: यदि \(a\) और \(b\) दोनों सम हैं, तो दोनों 2 से विभाज्य हैं; अतः वे सह-अभाज्य नहीं हो सकते। यह मूल मान्यता का विरोधाभास है, इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। परीक्षा टिप: सह-अभाज्य होने की शर्त अवश्य जाँचें। / If both \(a\) and \(b\) are even, each is divisible by 2, so they cannot be coprime. This contradicts the original assumption; hence \(\sqrt{2}\) is irrational. Exam tip: always use the lowest-terms condition to identify the contradiction.