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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Medium Level 18

एक विद्यार्थी कहता है कि यदि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) है, तो \(p\) और \(q\) दोनों सम हो सकते हैं। \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में यह कथन किस कारण से त्रुटिपूर्ण है?

A student says that if \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), then both \(p\) and \(q\) may be even. Why is this statement incorrect in the proof that \(\sqrt{2}\) is irrational?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
Correct answer and explanation
Correct Answer

A. मान लिया गया भिन्न \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में होना चाहिए; दोनों सम होने पर उसे 2 से काटा जा सकता है।The assumed fraction \(\frac{p}{q}\) must be in lowest terms; if both are even, it can be reduced by 2.

Explanation

Simple Explanation

विरोधाभास विधि में \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में माना जाता है। यदि \(p\) और \(q\) दोनों सम हैं, तो \(p=2m, q=2n\) रखकर 2 कट जाता है; यह सरलतम रूप के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: “सरलतम रूप” लिखना न भूलें। / In proof by contradiction, assume \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) in lowest terms. If both are even, write \(p=2m, q=2n\); cancelling 2 gives a smaller equivalent fraction, a contradiction. Exam tip: always state that \(p/q\) is in lowest terms.

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एक विद्यार्थी कहता है कि यदि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) है, तो \(p\) और \(q\) दोनों सम हो सकते हैं। \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में यह कथन किस कारण से त्रुटिपूर्ण है? / A student says that if \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), then both \(p\) and \(q\) may be even. Why is this statement incorrect in the proof that \(\sqrt{2}\) is irrational?

Correct Answer: A. मान लिया गया भिन्न \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में होना चाहिए; दोनों सम होने पर उसे 2 से काटा जा सकता है। / The assumed fraction \(\frac{p}{q}\) must be in lowest terms; if both are even, it can be reduced by 2.. Explanation: विरोधाभास विधि में \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में माना जाता है। यदि \(p\) और \(q\) दोनों सम हैं, तो \(p=2m, q=2n\) रखकर 2 कट जाता है; यह सरलतम रूप के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: “सरलतम रूप” लिखना न भूलें। / In proof by contradiction, assume \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) in lowest terms. If both are even, write \(p=2m, q=2n\); cancelling 2 gives a smaller equivalent fraction, a contradiction. Exam tip: always state that \(p/q\) is in lowest terms.