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Subjects
Class 12 Mathematics Relations and Functions One-one function Medium Level 22

फलन \(f:A\to B\) के एक-एक होने की आवश्यक एवं पर्याप्त शर्त कौन-सी है?

Which of the following is a necessary and sufficient condition for a function \(f:A\to B\) to be one-one?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
Correct answer and explanation
Correct Answer

A. यदि \(f(a)=f(b)\), तो \(a=b\)If \(f(a)=f(b)\), then \(a=b\)

Explanation

Simple Explanation

एक-एक फलन में भिन्न इनपुटों के प्रतिबिंब भिन्न होते हैं। इसलिए यदि \(f(a)=f(b)\) हो, तो अनिवार्य रूप से \(a=b\) होना चाहिए; यही एक-एक फलन की परिभाषात्मक शर्त है। विकल्प B आच्छादक (onto) फलन की शर्त है, जो एक-एक होने से अलग है। परीक्षा टिप: एक-एक जाँचने के लिए देखें कि समान आउटपुट से समान इनपुट ही प्राप्त होता है या नहीं। / In a one-one function, distinct inputs must have distinct images. Therefore, if \(f(a)=f(b)\), it must follow that \(a=b\); this is the defining condition for a one-one function. Option B is the condition for an onto function, which is different from being one-one. Exam tip: To test one-one-ness, check whether equal outputs force the inputs to be equal.

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  3. यदि \(A=\begin{bmatrix}3&0\\0&3\end{bmatrix}\), तो कौन-सा कथन सही है?
  4. यदि \(A=[a_{ij}]*{3\times3}\) और (a*{ij}=1) जब (i=j), तथा \(a_{ij}=0\) जब \(i\ne j\), तो (A) कैसी मैट्रिक्स है?
  5. यदि \(A=[a_{ij}]*{2\times2}\) और (a*{ij}=0) सभी (i,j) के लिए है, तो (A) कैसी मैट्रिक्स है?
  6. कौन-सा विकल्प \(2\times2\) इकाई मैट्रिक्स है?
  7. 2×2 शून्य मैट्रिक्स कौन‑सा है?
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  9. यदि \(A=\begin{bmatrix}x&1\\2&y\end{bmatrix}\) और \(B=\begin{bmatrix}3&1\\2&4\end{bmatrix}\) तथा \(A=B\), तो \((x,y)\) क्या है?
  10. यदि \(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\) और \(B=\begin{bmatrix}1&2\\3&5\end{bmatrix}\), तो कौन-सा कथन सही है?

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फलन \(f:A\to B\) के एक-एक होने की आवश्यक एवं पर्याप्त शर्त कौन-सी है? / Which of the following is a necessary and sufficient condition for a function \(f:A\to B\) to be one-one?

Correct Answer: A. यदि \(f(a)=f(b)\), तो \(a=b\) / If \(f(a)=f(b)\), then \(a=b\). Explanation: एक-एक फलन में भिन्न इनपुटों के प्रतिबिंब भिन्न होते हैं। इसलिए यदि \(f(a)=f(b)\) हो, तो अनिवार्य रूप से \(a=b\) होना चाहिए; यही एक-एक फलन की परिभाषात्मक शर्त है। विकल्प B आच्छादक (onto) फलन की शर्त है, जो एक-एक होने से अलग है। परीक्षा टिप: एक-एक जाँचने के लिए देखें कि समान आउटपुट से समान इनपुट ही प्राप्त होता है या नहीं। / In a one-one function, distinct inputs must have distinct images. Therefore, if \(f(a)=f(b)\), it must follow that \(a=b\); this is the defining condition for a one-one function. Option B is the condition for an onto function, which is different from being one-one. Exam tip: To test one-one-ness, check whether equal outputs force the inputs to be equal.