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Subjects
Class 12 Mathematics Relations and Functions One-one function Medium Level 22

किसी फलन \(f:A\to B\) के एक-एक होने के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त कौन-सी है?

Which condition is necessary and sufficient for a function \(f:A\to B\) to be one-one?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
Correct answer and explanation
Correct Answer

A. सभी \(x_1,x_2\in A\) के लिए \(f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2\)For all \(x_1,x_2\in A\), \(f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2\)

Explanation

Simple Explanation

एक-एक फलन में डोमेन के दो भिन्न अवयवों का प्रतिबिंब समान नहीं हो सकता। इसलिए यदि \(f(x_1)=f(x_2)\) हो, तो अनिवार्य रूप से \(x_1=x_2\) होना चाहिए; यही विकल्प A की शर्त है। विकल्प B सर्वेपी (onto) फलन की शर्त है, जो एक-एक होने के लिए आवश्यक नहीं है। विकल्प C स्पष्ट रूप से एक-एक होने का निषेध करता है। परीक्षा टिप: समान आउटपुट मिलने पर इनपुट भी समान सिद्ध हो जाए, तो फलन one-one है। / In a one-one function, two different elements of the domain cannot have the same image. Hence, if \(f(x_1)=f(x_2)\), it must follow that \(x_1=x_2\); this is exactly option A. Option B is the condition for an onto function, which is not required for a function to be one-one. Option C directly shows that the function is not one-one. Exam tip: If equal outputs force the inputs to be equal, the function is one-one.

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  8. मानें \(A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}\)। \(A^T\) का क्रम क्या होगा?
  9. यदि \(A=\begin{bmatrix}x&1\\2&y\end{bmatrix}\) और \(B=\begin{bmatrix}3&1\\2&4\end{bmatrix}\) तथा \(A=B\), तो \((x,y)\) क्या है?
  10. यदि \(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\) और \(B=\begin{bmatrix}1&2\\3&5\end{bmatrix}\), तो कौन-सा कथन सही है?

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किसी फलन \(f:A\to B\) के एक-एक होने के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त कौन-सी है? / Which condition is necessary and sufficient for a function \(f:A\to B\) to be one-one?

Correct Answer: A. सभी \(x_1,x_2\in A\) के लिए \(f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2\) / For all \(x_1,x_2\in A\), \(f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2\). Explanation: एक-एक फलन में डोमेन के दो भिन्न अवयवों का प्रतिबिंब समान नहीं हो सकता। इसलिए यदि \(f(x_1)=f(x_2)\) हो, तो अनिवार्य रूप से \(x_1=x_2\) होना चाहिए; यही विकल्प A की शर्त है। विकल्प B सर्वेपी (onto) फलन की शर्त है, जो एक-एक होने के लिए आवश्यक नहीं है। विकल्प C स्पष्ट रूप से एक-एक होने का निषेध करता है। परीक्षा टिप: समान आउटपुट मिलने पर इनपुट भी समान सिद्ध हो जाए, तो फलन one-one है। / In a one-one function, two different elements of the domain cannot have the same image. Hence, if \(f(x_1)=f(x_2)\), it must follow that \(x_1=x_2\); this is exactly option A. Option B is the condition for an onto function, which is not required for a function to be one-one. Option C directly shows that the function is not one-one. Exam tip: If equal outputs force the inputs to be equal, the function is one-one.