Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
हर बार (2) से गुणा हो रहा है इसलिए अगला पद \(56\times2=112\) है। परीक्षा में पहले सामान्य अनुपात पहचानें। / Each term is multiplied by (2) so the next term is \(56\times2=112\). In exams first identify the common ratio.
दूसरा पद \(5\times3=15\) होगा। परीक्षा में अगले पद के लिए सामान्य अनुपात से गुणा करें। / The second term is \(5\times3=15\). In exams multiply by the common ratio to get the next term.
अनुक्रम का पहला लिखा हुआ पद (9) है। परीक्षा में पहला पद (a) सीधे पहले पद से लें। / The first written term of the sequence is (9). In exams take the first term (a) directly from the sequence.
तीसरा पद \(ar^2=4\times5^2=100\) है। परीक्षा में तीसरे पद के लिए अनुपात का वर्ग लगाएँ। / The third term is \(ar^2=4\times5^2=100\). In exams use the square of the ratio for the third term.
हर बार \(\frac{1}{3}\) से गुणा हो रहा है इसलिए अगला पद \(6\times\frac{1}{3}=2\) है। परीक्षा में घटती श्रेणी में भिन्न अनुपात पहचानें। / Each term is multiplied by \(\frac{1}{3}\) so the next term is \(6\times\frac{1}{3}=2\). In exams identify fractional ratios in decreasing sequences.
सामान्य अनुपात (4) है इसलिए पाँचवाँ पद \(192\times4=768\) है। परीक्षा में अंतिम ज्ञात पद को अनुपात से गुणा करें। / The common ratio is (4) so the fifth term is \(192\times4=768\). In exams multiply the last known term by the ratio.
(45) और (135) का अनुपात (3) है इसलिए रिक्त पद \(45\div3=15\) है। परीक्षा में पीछे की ओर भी अनुपात लगाएँ। / The ratio of (45) and (135) is (3) so the missing term is \(45\div3=15\). In exams apply the ratio backward too.
पहला पद (2) और अनुपात (4) है इसलिए \(a_n=2\cdot4^{n-1}\) है। परीक्षा में \(a_n=ar^{n-1}\) लगाएँ। / The first term is (2) and the ratio is (4) so \(a_n=2\cdot4^{n-1}\). In exams use \(a_n=ar^{n-1}\).
पहला पद (6) और अनुपात (3) है इसलिए \(a_n=6\cdot3^{n-1}\) है। परीक्षा में \(a_n=ar^{n-1}\) का प्रयोग करें। / The first term is (6) and the ratio is (3) so \(a_n=6\cdot3^{n-1}\). In exams use \(a_n=ar^{n-1}\).
दूसरा पद \(40\times\frac{1}{2}=20\) है। परीक्षा में भिन्न अनुपात से सावधानी से गुणा करें। / The second term is \(40\times\frac{1}{2}=20\). In exams multiply carefully by a fractional ratio.
चौथा पद \(ar^3=5\times3^3=135\) है। परीक्षा में चौथे पद के लिए \(r^3\) लगाएँ। / The fourth term is \(ar^3=5\times3^3=135\). In exams use \(r^3\) for the fourth term.
सामान्य अनुपात \(\frac{1}{2}\) है इसलिए पाँचवाँ पद \(12\times\frac{1}{2}=6\) है। परीक्षा में भिन्नों को सरल करें। / The common ratio is \(\frac{1}{2}\) so the fifth term is \(12\times\frac{1}{2}=6\). In exams simplify fractions.
पद (2,6,18,54,162) हैं इसलिए (162) पाँचवाँ पद है। परीक्षा में छोटे पदों को क्रम से लिखकर जाँचें। / The terms are (2,6,18,54,162) so (162) is the fifth term. In exams list small terms in order to check.
(n=1,2,3) रखने पर (4,12,36) मिलते हैं। परीक्षा में (n-1) वाले घातांक को ध्यान से लगाएँ। / Putting (n=1,2,3) gives (4,12,36). In exams apply the exponent (n-1) carefully.
पहला पद (9) और अनुपात (4) है इसलिए \(a_n=9\cdot4^{n-1}\) है। परीक्षा में पहला पद और अनुपात दोनों मिलाएँ। / The first term is (9) and the ratio is (4) so \(a_n=9\cdot4^{n-1}\). In exams match both the first term and the ratio.
सामान्य अनुपात (5) है इसलिए रिक्त पद \(75\times5=375\) है। परीक्षा में समान अनुपात जारी रखें। / The common ratio is (5) so the missing term is \(75\times5=375\). In exams continue the same ratio.
चौथे पद (320) के बाद पाँचवाँ (1280) और छठा (5120) है। परीक्षा में पद संख्या गिनते समय पहला पद शामिल करें। / After the fourth term (320) the fifth is (1280) and the sixth is (5120). In exams include the first term while counting.
हर बार (6) से गुणा करने पर (3,18,108,648) मिलते हैं। परीक्षा में पहला पद न बदलें। / Multiplying by (6) each time gives (3,18,108,648). In exams do not change the first term.
पहला पद (64) और अनुपात \(\frac{1}{2}\) है इसलिए (a_n=64\cdot\left\(\frac{1}{2}\right\)^{n-1}) है। परीक्षा में घटती श्रेणी में भिन्न अनुपात लगाएँ। / The first term is (64) and the ratio is \(\frac{1}{2}\) so (a_n=64\cdot\left\(\frac{1}{2}\right\)^{n-1}). In exams use the fractional ratio in a decreasing sequence.
पद (3,6,12,24,48) हैं इसलिए (48) पाँचवाँ पद है। परीक्षा में पहला पद भी गिनें। / The terms are (3,6,12,24,48) so (48) is the fifth term. In exams count the first term too.
सामान्य अनुपात (2) है इसलिए अगला पद \(88\times2=176\) है। परीक्षा में अंतिम ज्ञात पद में अनुपात से गुणा करें। / The common ratio is (2) so the next term is \(88\times2=176\). In exams multiply the last known term by the ratio.
सामान्य अनुपात \(\frac{1}{2}\) है इसलिए पाँचवाँ पद \(20\times\frac{1}{2}=10\) है। परीक्षा में भिन्न अनुपात ध्यान से लगाएँ। / The common ratio is \(\frac{1}{2}\) so the fifth term is \(20\times\frac{1}{2}=10\). In exams apply fractional ratios carefully.
सामान्य अनुपात (1) होने पर सभी पद (13) रहेंगे। परीक्षा में (r=1) का मतलब स्थिर गुणोत्तर श्रेणी है। / When the common ratio is (1) all terms remain (13). In exams (r=1) means a constant geometric progression.
(50) और (250) का अनुपात (5) है इसलिए रिक्त पद \(50\div5=10\) है। परीक्षा में पीछे की ओर भी सामान्य अनुपात लगाएँ। / The ratio of (50) and (250) is (5) so the missing term is \(50\div5=10\). In exams apply the common ratio backward too.
यह \(4\cdot2^{n-1}\) के रूप में है इसलिए दसवाँ पद \(4\cdot2^9=2048\) है। परीक्षा में घात पहचानकर जल्दी हल करें। / This is of the form \(4\cdot2^{n-1}\) so the tenth term is \(4\cdot2^9=2048\). In exams identify powers to solve quickly.
पहला पद (36) और अनुपात \(\frac{1}{2}\) है। परीक्षा में \(ar^{n-1}\) में सही भिन्न अनुपात रखें। / The first term is (36) and the ratio is \(\frac{1}{2}\). In exams put the correct fractional ratio in \(ar^{n-1}\).
सामान्य अनुपात (4) है इसलिए पाँचवाँ पद \(768\times4=3072\) है। परीक्षा में अंतिम ज्ञात पद को अनुपात से गुणा करें। / The common ratio is (4) so the fifth term is \(768\times4=3072\). In exams multiply the last known term by the ratio.
पहला पद (6) है और हर बार (4) से गुणा हो रहा है। परीक्षा में पहला पद और अनुपात दोनों मिलाएँ। / The first term is (6) and each term is multiplied by (4). In exams match both the first term and the ratio.
छठा पद \(a r^5=9\cdot2^5=288\) है। परीक्षा में (n)वें पद के लिए \(r^{n-1}\) लगाएँ। / The sixth term is \(a r^5=9\cdot2^5=288\). In exams use \(r^{n-1}\) for the (n)th term.
