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दो तत्वों वाले समुच्चय के चार उपसमुच्चय होते हैं। घात समुच्चय में \(\emptyset\) और पूरा समुच्चय भी लिखें। / A two element set has four subsets. Include \(\emptyset\) and the whole set in the power set.
हर समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय है इसलिए \(A\in\mathcal{P}(A)\) होता है। इसे \(A\subseteq A\) से समझें। / Every set is a subset of itself so \(A\in\mathcal{P}(A)\). Understand it from \(A\subseteq A\).
(\mathcal{P}(A)) में उपसमुच्चय होते हैं इसलिए ({2}) सही है। (2) (A) का तत्व है लेकिन घात समुच्चय का तत्व नहीं। / (\mathcal{P}(A)) contains subsets so ({2}) is correct. (2) is an element of (A) but not of the power set.
A. क्योंकि \(\emptyset\subseteq A\)/because \(\emptyset\subseteq A\)
Explanation
Simple Explanation
रिक्त समुच्चय हर समुच्चय का उपसमुच्चय होता है। इसलिए वह हर घात समुच्चय में तत्व के रूप में आता है। / The empty set is a subset of every set. Therefore it appears as an element in every power set.
(A) में दो तत्व हैं इसलिए घात समुच्चय में \(2^2=4\) तत्व होंगे। अंदर के कोष्ठकों को देखकर तत्व गिनें। / Set (A) has two elements so its power set has \(2^2=4\) elements. Count elements carefully using brackets.
पहले (A') निकालते हैं जो ({1,4,5}) है। फिर (\mathcal{P}(A')) इसी समुच्चय के उपसमुच्चयों से बनेगा। / First find (A'), which is ({1,4,5}). Then (\mathcal{P}(A')) is made from subsets of this set.
शून्य तत्व वाला केवल \(\emptyset\) होता है। इसलिए किसी भी समुच्चय में ऐसा उपसमुच्चय एक ही होता है। / The only zero element subset is \(\emptyset\). So any set has exactly one such subset.
A. क्योंकि यह (A) का उपसमुच्चय है/because it is a subset of (A)
Explanation
Simple Explanation
({क,ग}) के सभी तत्व (A) में हैं इसलिए यह उपसमुच्चय है। घात समुच्चय के तत्व उपसमुच्चय होते हैं। / All elements of ({a,c}) are in (A), so it is a subset. Elements of a power set are subsets.
जब \(A=\emptyset\) हो तो (A'=U) होता है। यहां (U) में (4) तत्व हैं इसलिए \(2^4=16\) तत्व मिलेंगे। / When \(A=\emptyset\), (A'=U). Here (U) has (4) elements so the power set has \(2^4=16\) elements.
(1) को स्थिर रखकर बाकी (2) तत्वों को चुनने या न चुनने के \(2^2=4\) तरीके हैं। इसलिए ऐसे (4) उपसमुच्चय हैं। / Keep (1) fixed and choose or not choose the remaining (2) elements in \(2^2=4\) ways. So there are (4) such subsets.
