Class 11 Mathematics - Sets - Power Set and Universal Set Expert Quiz

Mathematics Sets Power Set and Universal Set Expert Class 11 Level 9

Level 9 • 6/50 questions • 25 seconds per question.

Level readiness 6/50 Questions

Time Left 02:30 25 sec/question

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Question 1/6 Expert Mathematics Sets Power Set and Universal Set Class 11 Level 9

यदि \(A=\{1,2\}\), \(B=\{1,2,3,4,5,6\}\), तो कितने \(X\) ऐसे हैं कि \(A\subseteq X\subseteq B\)?

If \(A=\{1,2\}\), \(B=\{1,2,3,4,5,6\}\), how many sets \(X\) satisfy \(A\subseteq X\subseteq B\)?

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Correct Answer

C. 16

Explanation

Simple Explanation

अब \(A\) के तत्व \(1,2\) सभी संभावित \(X\) में निश्चित शामिल होंगे। बचते हुए तत्व \(B\setminus A=\{3,4,5,6\}\) हैं — प्रत्येक को या तो शामिल किया जा सकता है या नहीं। इसलिए कुल संभावनाएँ \(2^{4}=16\) हैं। विकल्प B (12) गलत है क्योंकि वह अनिवार्यताओं को गलत तरीके से गिनने का परिणाम है; यहाँ स्वतंत्र विकल्पों की संख्या \(|B|-|A|=4\) है। परीक्षा टिप: ऐसे सवालों के लिए सामान्य सूत्र याद रखें — संख्या = \(2^{|B|-|A|}\)। / The elements of \(A\), namely 1 and 2, must appear in every valid \(X\). The remaining elements are \(B\setminus A=\{3,4,5,6\}\); each of these four elements can be either included or excluded independently, giving \(2^{4}=16\) possible sets. Option B (12) is incorrect — it arises from miscounting the independent choices. Exam tip: use the formula \(2^{|B|-|A|}\) for the number of sets \(X\) with \(A\subseteq X\subseteq B\).

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Question 2/6 Expert Mathematics Sets Power Set and Universal Set Class 11 Level 9

यदि A = {1, 2, 3, 4, 5} है, तो ऐसे कितने उपसमुच्चय हैं जो 1 को अवश्य शामिल करते हों और 5 को अवश्य बाहर रखें?

If A = {1, 2, 3, 4, 5}, how many subsets contain 1 and exclude 5?

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Correct Answer

B. 8

Explanation

Simple Explanation

किसी उपसमुच्चय को निर्धारित करने के लिए हर शेष तत्व के लिए शामिल/न शामिल — दो विकल्प होते हैं। यहाँ 1 को शामिल और 5 को बाहर रखना अनिवार्य है, इसलिए बचते हैं केवल तत्व 2, 3 और 4 — कुल 3 स्वतंत्र तत्व। प्रत्येक के दो विकल्प होने से कुल उपसमुच्चय होंगे \(2^3=8\)। विकल्प A (4) तब गलत होगा जब कोई केवल 2 स्वतंत्र तत्व मान ले; विकल्प D (16) तब गलती है जब चार स्वतंत्र तत्व मान लिए जाएँ। परीक्षा टिप: किसी भी शर्तित सदस्यता/अप्रविष्टता के बाद बचे स्वतंत्र तत्वों की संख्या गिनें और उत्तर \(2^{\text{बचे हुए}}") से निकालें। / Each element not fixed by the conditions can either be present or absent, giving 2 choices each. Here 1 must be included and 5 must be excluded, leaving elements 2, 3 and 4 free — three independent elements. Therefore the number of such subsets is \(2^3=8\). Option A (4) would be the result if only two elements were treated as free; option D (16) corresponds to incorrectly treating four elements as free. Exam tip: count the remaining free elements after applying inclusion/exclusion conditions and compute \(2^{\text{number of free elements}}\).

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Question 3/6 Expert Mathematics Sets Power Set and Universal Set Class 11 Level 9

यदि \(A=\{a,b,c,d\}\) है, तो ऐसे कितने उपसमुच्चय हैं जिनमें कम से कम एक तत्व \(a\) या \(b\) शामिल हो?

If \(A=\{a,b,c,d\}\), how many subsets contain at least one of \(a\) or \(b\)?

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Correct Answer

C. 12

Explanation

Simple Explanation

कुल उपसमुच्चयों की संख्या \(2^4=16\) है। कम से कम एक में से नहीं — यानी दोनों \(a\) और \(b\) को बाहर रखने वाले उपसमुच्चय केवल elementen \(\{c,d\}\) के किसी भी चयन से बनते हैं, उनकी संख्या \(2^2=4\) है। अतः कम से कम एक होने वाले उपसमुच्चय = \(16-4=12\)। नज़दीकी गलती: विकल्प D (14) तब मिलेगा जब कोई गलत तरीके से सोचे कि बाहर रखने वाले उपसमुच्चय केवल \(2\) हैं (यानि \(16-2\)) — पर वास्तविक में दोनों को बाहर रखने के \(2^2=4\) उपसमुच्चय होते हैं। परीक्षा युक्ति: कुल से पूरक गिनें — "कम से कम एक" गिनने के बजाय "दोनों नहीं" गिनकर घटाएँ; यह अक्सर सरल और तेज़ होता है। / Total number of subsets is \(2^4=16\). Subsets that exclude both \(a\) and \(b\) are exactly the subsets of \(\{c,d\}\), which number \(2^2=4\). Therefore subsets containing at least one of \(a\) or \(b\) = \(16-4=12\). About a common wrong answer: option D (14) comes from mistakenly subtracting \(2\) instead of \(4\) for the "exclude both" case (i.e. doing \(16-2\)), so it's incorrect. Exam tip: use the complement principle — count "neither a nor b" and subtract from the total; it avoids double counting.

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Question 4/6 Expert Mathematics Sets Power Set and Universal Set Class 11 Level 9

यदि \(n(\mathcal{P}(A))=32\) है, तो \(n(A)\) कितनी होगी?

If \(n(\mathcal{P}(A))=32\), what is \(n(A)\)?

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Correct Answer

B. 5

Explanation

Simple Explanation

समुच्चयों के लिए सामान्य सूत्र है \(n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}\)। यहाँ दिया है \(2^{n(A)}=32\)। क्योंकि \(32=2^5\), इसलिए \(n(A)=5\)। नज़दीकी विकर्षक क्यों गलत हैं: विकल्प A पर \(2^4=16\) होता है, विकल्प C पर \(2^6=64\) होता है, और विकल्प D पर \(2^{16}\) बहुत बड़ा है; इसलिए वे सभी 32 नहीं दे रहे। परीक्षा सुझाव: ऐसे प्रश्नों में सीधे बेस-2 के घात की पहचान करें या दोनों पक्षों का \(\log_2\) लें — यह गलत उत्तरों से तुरंत छुटकारा दिलाता है। / For sets the formula is \(n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}\). Here \(2^{n(A)}=32\), and since \(32=2^5\), we get \(n(A)=5\). Why other choices are wrong: option A gives \(2^4=16\), option C gives \(2^6=64\), and option D corresponds to \(2^{16}\), none equal 32. Exam tip: recognize powers of 2 quickly or take \(\log_2\) of both sides to find \(n(A)\).

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Question 5/6 Expert Mathematics Sets Power Set and Universal Set Class 11 Level 9

यदि \(A\subseteq B\) है, तो घात समुच्चय \(\mathcal{P}(A)\) और \(\mathcal{P}(B)\) के बीच क्या सम्बन्ध होगा?

If \(A\subseteq B\), what is the relation between the power sets \(\mathcal{P}(A)\) and \(\mathcal{P}(B)\)?

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A. \(\mathcal{P}(A)\subseteq\mathcal{P}(B)\)

Explanation

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यदि \(X\in\mathcal{P}(A)\) है तो \(X\subseteq A\)। क्योंकि \(A\subseteq B\), इसलिए \(X\subseteq B\) भी होगा, अतः \(X\in\mathcal{P}(B)\)। यह दिखाता है कि हर तत्व (उपसमुच्चय) जो \(\mathcal{P}(A)\) में है, वह \(\mathcal{P}(B)\) में भी है, अर्थात् \(\mathcal{P}(A)\subseteq\mathcal{P}(B)\)। विकल्प B गलत है क्योंकि इसका सत्य होने के लिए आवश्यक है कि \(B\subseteq A\) भी हो (यानी \(A=B\))। विकल्प C तभी सही होगा जब \(A=B\)। परीक्षा सुझाव: समावेशन साबित करने के लिए किसी भी सामान्य तत्व \(X\in\mathcal{P}(A)\) को लेकर देखिए कि वह \(\mathcal{P}(B)\) में भी आता है — यह विधि अक्सर तेज और सुरक्षित रहती है। / Take any \(X\in\mathcal{P}(A)\). Then \(X\subseteq A\). Since \(A\subseteq B\), we get \(X\subseteq B\), so \(X\in\mathcal{P}(B)\). Hence every element of \(\mathcal{P}(A)\) lies in \(\mathcal{P}(B)\), i.e. \(\mathcal{P}(A)\subseteq\mathcal{P}(B)\). Option B is incorrect because it asserts the reverse inclusion, which holds only when \(A=B\). Option C is only true in the special case \(A=B\). Exam tip: to prove set inclusions, pick an arbitrary element of the left side and show it belongs to the right side — this direct-element method is reliable for power sets.

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Question 6/6 Expert Mathematics Sets Power Set and Universal Set Class 11 Level 9

यदि A = {1,2,3,4} हो, तो केवल सम तत्वों से बने उपसमुच्चयों की कितनी संख्या बनाई जा सकती है?

If A = {1,2,3,4}, how many subsets can be formed that contain only even elements?

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Correct Answer

C. 4

Explanation

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A में सम तत्व {2,4} हैं — कुल 2 तत्व। किसी भी n-तत्व वाले सेट के उपसमुच्चयों की संख्या का सूत्र है \(2^n\)। यहाँ \(n=2\) इसलिए उपसमुच्चयों की संख्या \(2^2=4\)। आम त्रुटियाँ: विकल्प A (2) गलत है क्योंकि वह केवल सम तत्वों की संख्या गिन रहा है, न कि उनके उपसमुच्चयों की संख्या। विकल्प D (8) गलत है — 8 का संबंध किसी तीसरे तत्व वाले सेट के \(2^3\) से हो सकता है और यह यहाँ प्रासंगिक नहीं है। परीक्षात्मक सुझाव: पहले सम तत्वों की संख्या गिनें और तुरंत \(2^n\) फार्मूला लागू करें; खाली सेट भी उपसमुच्चय माना जाता है। / The even elements of A are {2,4}, so there are 2 even elements. The number of subsets of a set with n elements is given by \(2^n\). Here \(n=2\), hence the number of subsets is \(2^2=4\). Common mistakes: option A (2) confuses the count of elements with the count of subsets. Option D (8) is incorrect — 8 would correspond to \(2^3\) and is unrelated here. Exam tip: count the allowed elements first, then apply \(2^n\); remember the empty set is a valid subset.

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यदि \(A=\{1,2\}\), \(B=\{1,2,3,4,5,6\}\), तो कितने \(X\) ऐसे हैं कि \(A\subseteq X\subseteq B\)?

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यदि A = {1, 2, 3, 4, 5} है, तो ऐसे कितने उपसमुच्चय हैं जो 1 को अवश्य शामिल करते हों और 5 को अवश्य बाहर रखें?

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यदि \(A=\{a,b,c,d\}\) है, तो ऐसे कितने उपसमुच्चय हैं जिनमें कम से कम एक तत्व \(a\) या \(b\) शामिल हो?

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यदि \(n(\mathcal{P}(A))=32\) है, तो \(n(A)\) कितनी होगी?

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यदि \(A\subseteq B\) है, तो घात समुच्चय \(\mathcal{P}(A)\) और \(\mathcal{P}(B)\) के बीच क्या सम्बन्ध होगा?

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