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किसी संबंध का domain उसके सभी क्रमित युग्मों के प्रथम घटकों का समुच्चय होता है। यहाँ प्रथम घटक 1, 2, 2 और 3 हैं; दोहराए गए 2 को एक ही बार लिखने पर domain \(\{1,2,3\}\) मिलता है। विकल्प A range है, जबकि विकल्प C और D domain के सभी प्रथम घटकों को सही रूप से नहीं दर्शाते। परीक्षा-युक्ति: domain के लिए प्रत्येक युग्म का पहला घटक और range के लिए दूसरा घटक लें। / The domain of a relation is the set of all first components of its ordered pairs. Here the first components are 1, 2, 2 and 3; removing the repeated 2 gives \(\{1,2,3\}\). Option A is the range, while options C and D do not correctly include all first components. Exam tip: use the first coordinate for the domain and the second coordinate for the range.
समुच्चय \(A\) के अवयवों से बनने वाले क्रमित युग्मों में समीकरण \(a^2+b^2=25\) की जाँच करें। \(3^2+4^2=9+16=25\) और \(4^2+3^2=16+9=25\), इसलिए \((3,4)\) तथा \((4,3)\) संबंध \(R\) में हैं। अन्य किसी युग्म के लिए यह समीकरण संतुष्ट नहीं होता। अतः \(R\) में कुल \(2\) क्रमित युग्म हैं। परीक्षा-युक्ति: संबंधों में \((a,b)\) और \((b,a)\) को अलग-अलग क्रमित युग्म माना जाता है, जब तक कि दोनों समान न हों। / Check the ordered pairs formed from elements of \(A\) against \(a^2+b^2=25\). Since \(3^2+4^2=9+16=25\) and \(4^2+3^2=16+9=25\), the pairs \((3,4)\) and \((4,3)\) belong to \(R\). No other pair from \(A\times A\) satisfies the equation. Hence, \(R\) contains \(2\) ordered pairs. Exam tip: In a relation, \((a,b)\) and \((b,a)\) are counted separately because order matters, unless the two entries are equal.
संक्रमिता का नियम है: यदि \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\), तो \((a,c)\in R\)। यहाँ \(a=1\), \(b=4\) और \(c=6\) रखने पर \((1,6)\in R\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प A और B क्रमित युग्मों का क्रम उलट देते हैं, जबकि विकल्प D के लिए कोई आवश्यक आधार नहीं दिया गया है। परीक्षा-युक्ति: संक्रमणिता में पहले युग्म का पहला अवयव और दूसरे युग्म का दूसरा अवयव लेकर नया युग्म बनाइए। / Transitivity states that if \((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R\), then \((a,c)\in R\). Substituting \(a=1\), \(b=4\), and \(c=6\) gives \((1,6)\in R\), so option C is correct. Options A and B reverse the direction of the given ordered pairs, while option D is not required by transitivity. Exam tip: in a transitive chain, match the second element of the first pair with the first element of the second pair, then join the remaining outer elements.
A के अवयवों में a+b=7 को संतुष्ट करने वाले क्रमित युग्म केवल (3,4) और (4,3) हैं। अतः range, अर्थात् क्रमित युग्मों के दूसरे घटकों का समुच्चय, {3,4} है। विकल्प A में सभी अवयव लेने की गलती की गई है; उदाहरण के लिए 2 के साथ 5 चाहिए, लेकिन 5∉A। परीक्षा-युक्ति: किसी संबंध का range क्रमित युग्मों के दूसरे घटकों से बनता है। / The only ordered pairs from A satisfying a+b=7 are (3,4) and (4,3). Therefore, the range—the set of second components of the ordered pairs—is {3,4}. Option A incorrectly includes every element of A; for instance, pairing 2 would require 5, but 5∉A. Exam tip: the range of a relation is formed from the second coordinates of its ordered pairs.
मान लें कि समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) है और संबंध \(R\), \(A\) के अवयवों के क्रमित युग्मों पर इस प्रकार परिभाषित है कि \((a,b)\in R\) तब और केवल तब जब \(a+b\) अभाज्य हो। निम्नलिखित में से कौन-सा क्रमित युग्म \(R\) में है?
किसी युग्म \((a,b)\) के \(R\) में होने के लिए \(a+b\) अभाज्य होना चाहिए। विकल्प D में \(3+4=7\), और 7 अभाज्य संख्या है; इसलिए \((3,4)\in R\)। अन्य विकल्पों के योग क्रमशः 4, 8 और 6 हैं, जो अभाज्य नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में प्रत्येक युग्म के अवयवों का योग निकालकर केवल यह जाँचें कि वह अभाज्य है या नहीं। / For an ordered pair \((a,b)\) to belong to \(R\), the sum \(a+b\) must be prime. In option D, \(3+4=7\), and 7 is prime; hence \((3,4)\in R\). The sums for the other options are 4, 8, and 6, none of which is prime. Exam tip: calculate the sum of the two entries and then test whether the sum is prime.
