Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
बाकी (4) अंक (8) में से चुनें और (5) स्थानों में (0) पहले स्थान को छोड़कर (4) स्थानों पर हो सकता है, फिर (4!) क्रम हैं। शून्य के स्थानों को अलग गिनें। / Choose the other (4) digits from (8); (0) can occupy (4) non-first positions, and the rest arrange in (4!) ways. Count zero positions separately.
दो सिरों पर (T,E) को (2!) तरीकों से रखें और बीच के (6) अक्षर (6!) तरीकों से सजाएँ। सिरों की शर्त में endpoints पहले भरें। / Place (T,E) at the two ends in (2!) ways and arrange the remaining (6) letters in (6!) ways. For endpoint constraints, fill endpoints first.
(10) अलग-अलग लोगों को एक पंक्ति में बैठाया जाता है। दो निश्चित लोग साथ-साथ बैठें और तीसरा निश्चित व्यक्ति उनके किसी भी सिरे पर न बैठे, ऐसे कितने क्रम हैं?
दो साथ बैठे लोगों को ब्लॉक मानकर \(9!\cdot2\) से वे cases घटाएँ जहाँ तीसरा व्यक्ति सिरों पर है, जो \(2\cdot8!\cdot2\) हैं। संयुक्त शर्तों में पहले आसान कुल बनाकर निषिद्ध घटाएँ। / Treat the adjacent pair as a block giving \(9!\cdot2\), then subtract cases where the third person is at an end, \(2\cdot8!\cdot2\). For combined conditions, count a simple total and subtract forbidden cases.
एक निश्चित विद्यार्थी को स्थिर करें, दूसरा उसके सामने निश्चित होगा और बाकी (6) विद्यार्थी (6!) तरीकों से बैठेंगे। सामने की सीट वाली वृत्तीय समस्या में एक व्यक्ति स्थिर करें। / Fix one particular student; the other is fixed opposite, and the remaining (6) students can be seated in (6!) ways. For opposite-seat circular problems, fix one person.
कुल \(\frac{8!}{2!}\) और (C) साथ वाले (7!) हैं, इसलिए अलग रहने वाली (20160-5040) हैं। अलग रहने पर कुल से साथ वाला case घटाएँ। / Total arrangements are \(\frac{8!}{2!}\), and adjacent (C) cases are (7!), so separated cases are (20160-5040). For separated objects, subtract adjacent cases from total.
किसी भी चुने गए (5) अंकों का बढ़ता हुआ क्रम केवल (1) होता है, इसलिए संख्या (8C5) है। क्रम निश्चित हो तो केवल चयन गिनें। / Any chosen set of (5) digits has only (1) increasing order, so the count is (8C5). If the order is fixed, count only selection.
कुल (11) अक्षर हैं और (B,I) प्रत्येक (2) बार आते हैं, इसलिए \(\frac{11!}{2!2!}\) है। बड़े शब्दों में अक्षर आवृत्ति सावधानी से गिनें। / There are (11) letters and (B,I) each repeat (2) times, so the count is \(\frac{11!}{2!2!}\). Count letter frequencies carefully in long words.
(12) अलग-अलग पुरस्कारों को (5) विद्यार्थियों में बाँटना है, यदि एक विद्यार्थी को (4) पुरस्कार और बाकी (4) विद्यार्थियों को (2)-(2) पुरस्कार मिलें। वितरण के कितने तरीके हैं?
(4) पुरस्कार पाने वाला विद्यार्थी (5) तरीकों से चुनेगा और वितरण (\frac{12!}{4!(2!)4}) से होगा। वस्तुएँ अलग हों तो समूह-आकारों से भाग दें। / Choose the student receiving (4) prizes in (5) ways and distribute as (\frac{12!}{4!(2!)4}). For distinct objects in fixed group sizes, divide by group factorials.
पहली जोड़ी को ब्लॉक बनाकर कुल \(2\cdot5!\) हैं और दूसरी जोड़ी साथ हो तो \(2\cdot2\cdot4!\) घटाएँ। मिश्रित वृत्तीय शर्तों में block और subtraction साथ प्रयोग करें। / Make the first pair a block giving \(2\cdot5!\), then subtract cases where the second pair is adjacent, \(2\cdot2\cdot4!\). Use block and subtraction together in mixed circular constraints.
अंतिम अंक (0) होने पर (9P5) और अंतिम अंक (2,4,6,8) होने पर \(4\cdot8\cdot8P4\) मिलते हैं। शून्य और गैर-शून्य अंतिम अंक के cases अलग करें। / If the last digit is (0), count (9P5); if it is (2,4,6,8), count \(4\cdot8\cdot8P4\). Separate zero and nonzero last-digit cases.
