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C. जब हल्की, मध्यम और गहरी रेखाएं उद्देश्यपूर्ण हों/When light, medium, and dark lines are purposeful
Explanation
Simple Explanation
उद्देश्यपूर्ण दबाव भिन्नता रेखा को परिपक्व बनाती है। परीक्षा में रेखा दबाव को अभिव्यक्ति से जोड़ें। / Purposeful pressure variation makes line mature. Exam tip: connect line pressure with expression.
D. तिरछी रेखाएं गतिशील मुद्रा और लय जोड़ना/Add diagonal lines dynamic pose and rhythm
Explanation
Simple Explanation
खेल विषय में गति संकेत जरूरी हैं। परीक्षा में subject requirement के अनुसार तत्व जोड़ें। / Sports subject needs motion cues. Exam tip: add elements according to subject requirement.
A. संकेतित रेखा और दृष्टि मार्ग/Implied line and visual path
Explanation
Simple Explanation
वस्तुओं की व्यवस्था भी अदृश्य दिशा बना सकती है। परीक्षा में implied line को केवल खींची रेखा न समझें। / Arrangement of objects can also create unseen direction. Exam tip: do not treat implied line as only drawn line.
प्रकाश आधारित आकृति में मान सीमा बनाता है। परीक्षा में line absent होने पर value contrast देखें। / In light-based figure value creates boundary. Exam tip: observe value contrast when line is absent.
A. इसमें कौन सी रेखाएं रंग आकार और स्थान दिखते हैं/What lines colours shapes and spaces are visible in it
Explanation
Simple Explanation
चित्र विश्लेषण में दिखने वाले तत्वों को पहले पहचानना उपयोगी है। परीक्षा में अवलोकन से उत्तर शुरू करें। / In picture analysis it is useful to identify visible elements first. Exam tip: start the answer with observation.
पृष्ठभूमि दूर का भाग होती है। परीक्षा में दूर भाग को पृष्ठभूमि से जोड़ें। / Background is the distant part. Exam tip: connect far area with background.
काले और सफेद में मान का बड़ा अंतर होता है। परीक्षा में strong contrast को ध्यान खींचने वाला मानें। / Black and white have a large value difference. Exam tip: treat strong contrast as attention grabbing.
काली सफेद चित्रकला में हल्का गहरा मान प्रमुख होता है। परीक्षा में black and white art को value study मानें। / Light and dark values are prominent in black and white drawing. Exam tip: treat black and white art as value study.
मुख्य वस्तु वाला भाग सकारात्मक स्थान कहलाता है। परीक्षा में विषय क्षेत्र को सकारात्मक स्थान लिखें। / The area occupied by the main object is called positive space. Exam tip: write positive space for the subject area.
C. चर्च रंगीन घर और पहाड़ी शहरी रूप/Churches colorful houses and hillside urban form
Explanation
Simple Explanation
ओलिंडा ब्राजील का औपनिवेशिक शहर है जिसमें पुर्तगाली प्रभाव दिखाई देता है। परीक्षा में ब्राजील याद रखें। / Olinda is a colonial city of Brazil showing Portuguese influence. For exams remember Brazil.
A. क्रेमलिन और रेड स्क्वायर/Kremlin and Red Square
Explanation
Simple Explanation
क्रेमलिन और रेड स्क्वायर रूसी राजनीतिक शक्ति और इतिहास के प्रतीक हैं। परीक्षा में सत्ता और स्मारक संबंध याद रखें। / The Kremlin and Red Square are symbols of Russian political power and history. For exams remember the power and monument relation.
C. फिलीपींस की चावल सीढ़ियां/Rice Terraces of the Philippines
Explanation
Simple Explanation
चावल सीढ़ियां मनुष्य और प्रकृति की दीर्घकालिक पारस्परिक क्रिया दिखाती हैं। परीक्षा में सांस्कृतिक परिदृश्य को मानव प्रकृति संबंध से जोड़ें। / Rice terraces show long term interaction between humans and nature. For exams connect cultural landscape with human nature relation.
A. नए राज्य को खनिज संपदा पर नियंत्रण और बाहरी हस्तक्षेप से जूझना पड़ा/The new state struggled over control of mineral wealth and outside intervention
Explanation
Simple Explanation
कांगो संकट ने उपनिवेशोत्तर राज्य निर्माण की कठिनाई दिखाई। परीक्षा में संसाधन राजनीति याद रखें। / The Congo Crisis showed difficulty of postcolonial state building. For exams remember resource politics.
A. बुनियादी ढांचा अक्सर स्थानीय कल्याण से अधिक निर्यात और नियंत्रण के लिए बनाया गया/Infrastructure was often built more for export and control than local welfare
Explanation
Simple Explanation
औपनिवेशिक विकास को उसके उद्देश्य और लाभार्थी से परखना चाहिए। परीक्षा में रेल बंदरगाह और खदानें जोड़ें। / Colonial development should be judged by its purpose and beneficiaries. For exams connect railways ports and mines.
A. समाजों को जानकर शासन वर्गीकरण और नीति निर्माण आसान करना/Knowing societies to ease rule classification and policy making
Explanation
Simple Explanation
सर्वेक्षण केवल ज्ञान नहीं बल्कि शासन का उपकरण भी थे। परीक्षा में सर्वेक्षण और प्रशासन साथ पढ़ें। / Surveys were not only knowledge but also tools of rule. For exams study surveys and administration together.
A. वे अक्सर खनन क्षेत्रों बंदरगाहों और निर्यात मार्गों को जोड़ते थे/They often connected mining areas ports and export routes
Explanation
Simple Explanation
रेलमार्गों का ढांचा औपनिवेशिक व्यापार और संसाधन निकासी से जुड़ा था। परीक्षा में रेल बंदरगाह और खदानें साथ पढ़ें। / Railway networks were linked with colonial trade and resource extraction. For exams study railways ports and mines together.
A. कानून व्यवस्था घोषित होती थी पर अधिकार और दंड में नस्ली या प्रशासनिक भेद रह सकता था/Rule of law was declared but rights and punishments could remain racially or administratively unequal
Explanation
Simple Explanation
औपनिवेशिक कानून नियंत्रण और वैधता दोनों का साधन था। परीक्षा में कानून और न्याय का अंतर समझें। / Colonial law was a tool of both control and legitimacy. For exams understand the difference between law and justice.
A. राजनीतिक स्वतंत्रता के बाद भी सामाजिक समानता के प्रश्न पूरी तरह हल नहीं हुए/Even after political freedom questions of social equality were not fully solved
Explanation
Simple Explanation
क्रिओल नेतृत्व ने स्पेनी सत्ता को चुनौती दी लेकिन समाज में असमानताएं बचीं। परीक्षा में नेतृत्व और सामाजिक प्रश्न अलग रखें। / Creole leadership challenged Spanish power but inequalities remained in society. For exams keep leadership and social questions separate.
A. खनिज लाभ के साथ भूमि क्षति विस्थापन और श्रम शोषण जुड़ा था/Mineral profit was linked with land damage displacement and labour exploitation
Explanation
Simple Explanation
खनन औपनिवेशिक संसाधन दोहन का प्रमुख उदाहरण है। परीक्षा में पर्यावरण और समाज दोनों लिखें। / Mining is a major example of colonial resource extraction. For exams write both environment and society.
A. चीनी जैसे उत्पादन के लिए कठोर श्रम और निर्यात बाजार पर निर्भरता थी/Production like sugar depended on harsh labour and export markets
Explanation
Simple Explanation
कैरेबियन बागानों में लाभ श्रम शोषण और यूरोपीय बाजार से जुड़ा था। परीक्षा में चीनी और दास श्रम याद रखें। / Caribbean plantations linked profit labour exploitation and European markets. For exams remember sugar and slave labour.
B. कई नई राज्यों में जातीय और क्षेत्रीय संतुलन की चुनौती बनी/Many new states faced challenges of ethnic and regional balance
Explanation
Simple Explanation
औपनिवेशिक सीमाएं स्थानीय समाजों से मेल नहीं खा सकती थीं। परीक्षा में सीमा और पहचान साथ पढ़ें। / Colonial borders could fail to match local societies. For exams study borders and identity together.
A. स्थानीय लोगों के श्रम और कर पर औपनिवेशिक नियंत्रण था/Colonial control existed over labour and tribute of local people
Explanation
Simple Explanation
एंकोमेंडा औपनिवेशिक श्रम शोषण का उदाहरण थी। परीक्षा में इसे मूल निवासी समाजों पर प्रभाव से जोड़ें। / The encomienda was an example of colonial labour exploitation. For exams connect it with impact on indigenous societies.
A. राष्ट्र संघ के नाम पर बाहरी शक्तियों ने प्रशासन जारी रखा/Outside powers continued administration in the name of the League of Nations
Explanation
Simple Explanation
मंडेट प्रणाली में आत्मनिर्णय की बात के साथ नियंत्रण भी बना रहा। परीक्षा में प्रथम विश्व युद्ध बाद की व्यवस्था याद रखें। / In the mandate system control continued along with talk of self determination. For exams remember post World War I order.
A. क्योंकि वे शासन नियंत्रण और बाजार गतिविधियों के केंद्र बनते थे/Because they became centers of rule control and market activities
Explanation
Simple Explanation
औपनिवेशिक शहर सत्ता व्यापार और ढांचे के केंद्र हो सकते थे। परीक्षा में शहरों की भूमिका याद रखें। / Colonial cities could be centers of power trade and infrastructure. For exams remember the role of cities.
A. वनों को राज्य नियंत्रण में लाकर लकड़ी और राजस्व पर अधिकार किया गया/Forests were brought under state control to command timber and revenue
Explanation
Simple Explanation
औपनिवेशिक वन नीति संसाधन और आजीविका दोनों को प्रभावित करती थी। परीक्षा में वन अधिकार याद रखें। / Colonial forest policy affected both resources and livelihoods. For exams remember forest rights.
A. विदेशी शासन विरोध साम्यवादी नेतृत्व और राष्ट्रीय मुक्ति से जुड़ गया/Anti foreign rule linked with communist leadership and national liberation
Explanation
Simple Explanation
वियतनाम में स्वतंत्रता संघर्ष वैचारिक और राष्ट्रीय दोनों था। परीक्षा में फ्रांस और शीत युद्ध संदर्भ याद रखें। / Vietnam's freedom struggle was both ideological and national. For exams remember France and Cold War context.
A. दंड सामाजिक वर्ग और स्थिति के अनुसार बदल सकता था/Punishment could vary according to social class and status
Explanation
Simple Explanation
यह संहिता लिखित कानून का उदाहरण है लेकिन आधुनिक समानता नहीं दिखाती। परीक्षा में उपलब्धि और सीमा दोनों लिखें। / This code is an example of written law but does not show modern equality. Exam tip: write both achievement and limitation.
A. एथेंस अंदर लोकतांत्रिक था पर बाहरी प्रभाव साम्राज्यवादी भी था/Athens was democratic internally but its external influence was also imperial
Explanation
Simple Explanation
पेरिकल्स का एथेंस लोकतंत्र और साम्राज्यवादी शक्ति दोनों से जुड़ा था। परीक्षा में एथेंस को संतुलित दृष्टि से समझें। / Pericles' Athens was linked with both democracy and imperial power. Exam tip: understand Athens with a balanced view.
A. मजबूत केंद्रीकृत नेतृत्व और लोकतांत्रिक संस्थाओं पर दबाव/Strong centralized leadership and pressure on democratic institutions
Explanation
Simple Explanation
इंदिरा गांधी का दौर शक्ति केंद्रीकरण और बड़े राजनीतिक निर्णयों से जुड़ा है। परीक्षा में उपलब्धि और आलोचना दोनों याद रखें। / Indira Gandhi's period is linked with centralization of power and major political decisions. For exams remember both achievement and criticism.
A. सुरक्षा परिषद की सिफारिश के चरण में/At the Security Council recommendation stage
Explanation
Simple Explanation
सुरक्षा परिषद की सिफारिश में स्थायी सदस्यों की सहमति महत्त्वपूर्ण होती है। परीक्षा में प्रक्रिया और शक्ति संतुलन दोनों समझें। / Consent of permanent members is important in the Security Council recommendation. Exam tip: understand both procedure and power balance.
B. व्यापक प्रतिनिधित्व और शक्ति केंद्रित निर्णय व्यवस्था का तनाव/Tension between broad representation and concentrated decision-making power
Explanation
Simple Explanation
महासभा व्यापक प्रतिनिधित्व देती है जबकि सुरक्षा परिषद कुछ सदस्यों को विशेष शक्ति देती है। परीक्षा में वैधता और प्रभावशीलता को साथ समझें। / The General Assembly gives broad representation while the Security Council gives special power to some members. Exam tip: understand legitimacy and effectiveness together.
A. देशों ने अपने संसाधनों और विकास नीति पर अधिक नियंत्रण की मांग की/Countries demanded more control over their resources and development policy
Explanation
Simple Explanation
नई आर्थिक व्यवस्था की मांग संसाधन नियंत्रण और विकास न्याय से जुड़ी थी। परीक्षा में इसे वैश्विक दक्षिण की आर्थिक आवाज मानें। / The demand for a new economic order was linked with resource control and development justice. For exams treat it as the economic voice of the Global South.
A. चार्टर शांति और अधिकारों की बात करता है लेकिन संस्था शक्ति राजनीति में काम करती है/The Charter speaks of peace and rights but the institution works within power politics
Explanation
Simple Explanation
संयुक्त राष्ट्र उच्च आदर्शों को वास्तविक विश्व राजनीति में लागू करने की कोशिश करता है। परीक्षा में आदर्श और सीमाएं साथ लिखें। / The UN tries to apply high ideals in real world politics. Exam tip: write ideals and limits together.
C. महाशक्तियों की प्रतिद्वंद्विता और वीटो रुकावट/Superpower rivalry and veto deadlock
Explanation
Simple Explanation
शीत युद्ध में महाशक्तियों के मतभेदों से सुरक्षा परिषद कई बार बाधित हुई। परीक्षा में इसे वीटो समस्या से जोड़ें। / During the Cold War differences among superpowers often blocked the Security Council. Exam tip: link it with the veto problem.
A. स्वास्थ्य शिक्षा मानवाधिकार शरणार्थी और विकास/Health education human rights refugees and development
Explanation
Simple Explanation
संयुक्त राष्ट्र सहयोग को कई क्षेत्रों में फैलाता है। परीक्षा में एजेंसियों के उदाहरण देकर उत्तर मजबूत करें। / The UN spreads cooperation across many fields. For exams strengthen answers with examples of agencies.
A. स्वतंत्रता समानता अधिकार और जनसत्ता की मांग में/In demands for liberty equality rights and popular sovereignty
Explanation
Simple Explanation
प्रबोधन विचारों ने कई क्रांतियों में अधिकार और जनसत्ता की भाषा दी। परीक्षा में लॉक रूसो और मोंतेस्क्यू को क्रांति विचारों से जोड़ें। / Enlightenment ideas gave many revolutions the language of rights and popular sovereignty. Exam tip: link Locke Rousseau and Montesquieu with revolutionary ideas.
A. 1848 की यूरोपीय क्रांतियां/Revolutions of 1848 in Europe
Explanation
Simple Explanation
1848 की क्रांतियों में राष्ट्रीय एकता और उदार अधिकारों की मांग साथ दिखी। परीक्षा में इसे यूरोप की व्यापक वैचारिक लहर समझें। / The 1848 revolutions showed demands for national unity and liberal rights together. Understand it as a broad ideological wave in Europe for exams.
A. वे अधिकारों की सार्वभौमिक भाषा देते थे पर समाजों में असमानताएं बनी थीं/They gave universal language of rights but inequalities remained in societies
Explanation
Simple Explanation
ज्ञानोदय ने अधिकारों की भाषा दी जिसे अलग समूहों ने अपने संघर्षों में अपनाया। परीक्षा में सार्वभौमिक आदर्श और वास्तविक सीमा लिखें। / The Enlightenment gave a language of rights that different groups adopted in struggles. For exams write universal ideals and real limits.
A. क्योंकि भूमि सुधार किसान मुद्दा था और सत्ता राजनीति शहरों से जुड़ी थी/Because land reform was a peasant issue and power politics was linked with cities
Explanation
Simple Explanation
मैक्सिकन क्रांति में भूमि किसान और राष्ट्रीय सत्ता के प्रश्न साथ आए। परीक्षा में सामाजिक आधार अलग पहचानें। / Land peasants and national power questions came together in the Mexican Revolution. For exams identify social bases separately.
C. विजेताओं ने सुरक्षा चाही लेकिन कठोर शर्तों ने पराजित असंतोष बढ़ाया/Victors wanted security but harsh terms increased defeated resentment
Explanation
Simple Explanation
वर्साय ने सुरक्षा की कोशिश की पर जर्मन असंतोष भी बढ़ाया। परीक्षा में संधि के दोहरे परिणाम लिखें। / Versailles tried to create security but also increased German resentment. For exams write the treaty's double results.
A. लंबे संघर्ष में जहाज विमान सैनिक और आपूर्ति लगातार खर्च हुए/Ships aircraft soldiers and supplies were continuously consumed in a long struggle
Explanation
Simple Explanation
गुआडलकैनाल ने जापानी और मित्र संसाधनों पर लगातार दबाव डाला। परीक्षा में प्रशांत युद्ध को लंबी रसद लड़ाई भी समझें। / Guadalcanal put continuous pressure on Japanese and Allied resources. For exams understand the Pacific War also as a long logistics struggle.
A. नाजी कानूनों ने पहले अधिकार छीने और फिर हिंसक नीति को रास्ता दिया/Nazi laws first removed rights and then opened the way for violent policy
Explanation
Simple Explanation
न्यूरेमबर्ग कानून जैसे कदम उत्पीड़न को वैध रूप देते थे। परीक्षा में कानूनी भेदभाव और नरसंहार की कड़ी समझें। / Measures like the Nuremberg Laws gave legal form to persecution. For exams understand the link between legal discrimination and genocide.
B. क्योंकि कई क्षेत्रों में नए रूप में बाहरी शासन जारी रहा/Because external rule continued in a new form in many regions
Explanation
Simple Explanation
मंडेट प्रणाली ने स्वतंत्रता की भाषा और साम्राज्यवादी नियंत्रण का विरोधाभास दिखाया। परीक्षा में आत्मनिर्णय की सीमाएं याद रखें। / The mandate system showed a contradiction between language of freedom and imperial control. For exams remember the limits of self-determination.
A. आदर्शवादी शांति और दंडात्मक शर्तों के बीच तनाव/Tension between idealistic peace and punitive terms
Explanation
Simple Explanation
विल्सन आदर्शवादी शांति चाहते थे पर संधि में जर्मनी पर कठोर शर्तें लगीं। परीक्षा में विचार और वास्तविक राजनीति का अंतर समझें। / Wilson wanted idealistic peace but the treaty imposed harsh terms on Germany. For exams understand the difference between ideas and real politics.
A. बर्लिन स्वयं पूर्व और पश्चिम प्रभाव क्षेत्रों का प्रतीक बन गया/Berlin itself became a symbol of eastern and western spheres
Explanation
Simple Explanation
बर्लिन शीत युद्ध के वैचारिक विभाजन का प्रमुख प्रतीक बना। परीक्षा में बर्लिन नाकाबंदी और दीवार को इसी क्रम में समझें। / Berlin became a major symbol of Cold War ideological division. For exams understand the Berlin Blockade and Wall in this sequence.
A. सिंचाई से कृषि को सहारा मिला और राज्य आधार मजबूत हुआ/Irrigation supported agriculture and strengthened the state base
Explanation
Simple Explanation
नहरों से कृषि और लोक सुविधा को सहायता मिली। इसे व्यवहारिक प्रशासन से जोड़ें। / Canals helped agriculture and public facilities. Link it with practical administration.
A. बड़ी सेना को कम लागत पर बनाए रखने के लिए कीमतें नियंत्रित की गईं/Prices were controlled to maintain a large army at lower cost
Explanation
Simple Explanation
बाजार नियंत्रण सैन्य जरूरतों से जुड़ा था। इसे खिलजी प्रशासन और सेना के संबंध से समझें। / Market control was linked with military needs. Understand it through the relation between Khalji administration and army.
A. प्रशासन ने मूल्य नियंत्रण से बड़ी सेना की जरूरतों को संभाला/Administration handled the needs of a large army through price control
Explanation
Simple Explanation
बाजार नियंत्रण बड़ी सेना को कम खर्च में बनाए रखने से जुड़ा था। इसे खिलजी सैन्य नीति के साथ पढ़ें। / Market control was linked with maintaining a large army at lower cost. Study it with Khalji military policy.
A. क्योंकि सत्ता हस्तांतरण हो रहा था पर कांग्रेस और लीग के लक्ष्य अलग थे/Because transfer of power was underway but Congress and League had different goals
Explanation
Simple Explanation
अंतरिम सरकार स्वतंत्रता से पहले के राजनीतिक गतिरोध को दिखाती है। परीक्षा में 1946 को वार्ता और तनाव दोनों से पढ़ें। / The Interim Government shows the political deadlock before independence. Exam tip is to study 1946 with both negotiation and tension.
C. बहिष्कार स्वदेशी और जनजागरण पर जोर/Emphasis on boycott Swadeshi and public awakening
Explanation
Simple Explanation
गरम दल ने जनता को अधिक सक्रिय संघर्ष से जोड़ने की कोशिश की। परीक्षा में लाल बाल पाल को याद रखें। / The Extremists tried to connect people with more active struggle. Exam tip is to remember Lal Bal Pal.
गोत्र व्यवस्था उत्तर वैदिक समाज में अधिक स्पष्ट होती है। परीक्षा में इसे विवाह और सामाजिक संगठन से जोड़ें। / The Gotra system becomes clearer in Later Vedic society. For exams, connect it with marriage and social organization.
संख्याएँ \(52,60,\ldots,244\) हैं और कुल (25) पद हैं। परीक्षा में शर्त को सही समान्तर श्रेणी में बदलें। / The numbers are \(52,60,\ldots,244\), and there are (25) terms. Exam tip: convert the condition into the correct AP.
\(S_{24}=1476\) और \(S_{25}=1600\) है इसलिए पहली बार (n=25) पर योग (1500) से अधिक होगा। परीक्षा में सीमा वाले प्रश्नों में पास के पूर्णांक जांचें। / \(S_{24}=1476\) and \(S_{25}=1600\), so the sum first exceeds (1500) at (n=25). Exam tip: check nearby integers in boundary questions.
कुल योग (9870) है और (7) के गुणजों का योग (1470) है इसलिए उत्तर (8400) है। परीक्षा में पूरक योग घटाना आसान होता है। / The total sum is (9870), and the sum of multiples of (7) is (1470), so the answer is (8400). Exam tip: subtract the complementary sum.
संख्याएँ \(114,133,\ldots,988\) हैं और कुल (47) पद हैं। परीक्षा में पहला और अंतिम तीन अंकीय गुणज निकालें। / The numbers are \(114,133,\ldots,988\), and there are (47) terms. Exam tip: find the first and last three-digit multiples.
पद \(112,126,\ldots,350\) हैं और कुल (18) पद बनते हैं। परीक्षा में पहला और अंतिम मान सावधानी से चुनें। / The terms are \(112,126,\ldots,350\), making (18) terms. Exam tip: choose the first and last valid terms carefully.
ऐसी संख्याएँ \(12,24,\ldots,120\) हैं और कुल (10) पद हैं। परीक्षा में दोनों से विभाज्य का अर्थ लघुत्तम समापवर्त्य लें। / The numbers are \(12,24,\ldots,120\), and there are (10) terms. Exam tip: divisible by both means use the least common multiple.
कुल योग (11325) है और (6) के गुणजों का योग (1875) है इसलिए उत्तर (9450) है। परीक्षा में पूरक योग घटाना आसान होता है। / The total sum is (11325), and the sum of multiples of (6) is (1875), so the answer is (9450). Exam tip: subtract the complementary sum.
संख्याएँ \(102,119,\ldots,986\) हैं और कुल (53) पद हैं। परीक्षा में पहला और अंतिम तीन अंकीय गुणज निकालें। / The numbers are \(102,119,\ldots,986\), and there are (53) terms. Exam tip: find the first and last three-digit multiples.
पद \(84,96,\ldots,252\) हैं और कुल (15) पद बनते हैं। परीक्षा में पहला और अंतिम मान सावधानी से चुनें। / The terms are \(84,96,\ldots,252\), making (15) terms. Exam tip: choose the first and last valid terms carefully.
पद \(54,63,\ldots,198\) हैं और कुल (17) पद बनते हैं। परीक्षा में पहला और अंतिम मान सावधानी से चुनें। / The terms are \(54,63,\ldots,198\), making (17) terms. Exam tip: choose the first and last valid terms carefully.
\(S_{42}=9975\) और \(S_{43}=10449\), इसलिए पहली बार (43) पदों पर योग (10000) से अधिक है। पिछले योग की जाँच जरूर करें। / \(S_{42}=9975\) and \(S_{43}=10449\), so the sum first exceeds (10000) at (43) terms. Always check the previous sum.
पहला गुणज (209), अंतिम (1197) और (53) पद हैं, इसलिए योग (37259) है। सीमा के अंदर पहला गुणज सही चुनें। / The first multiple is (209), the last is (1197), and there are (53) terms, so the sum is (37259). Choose the first multiple within the range correctly.
(24) के गुणजों के योग से (48) के गुणजों का योग घटाने पर (1027752) मिलता है। but not में बड़ी शर्त को घटाना होता है। / Subtracting the sum of multiples of (48) from the sum of multiples of (24) gives (1027752). In but-not cases, subtract the stricter condition.
पहली संख्या (1036), अंतिम (9990) और कुल (243) पद हैं, इसलिए योग (1339659) है। पहला और अंतिम गुणज सावधानी से चुनें। / The first number is (1036), the last is (9990), and there are (243) terms, so the sum is (1339659). Choose the first and last multiples carefully.
(18) के गुणजों के योग से (\operatorname{lcm}(18,30)) के गुणजों का योग घटाने पर (83664) मिलता है। but not वाली शर्त में overlap हटाएँ। / Subtracting the sum of multiples of (\operatorname{lcm}(18,30)) from the sum of multiples of (18) gives (83664). In a but-not condition, remove the overlap.
(9) के गुणजों के योग से (36) के गुणजों का योग घटाने पर (93753) मिलता है। दोनों से विभाज्य संख्याएँ (\operatorname{lcm}(9,12)) की गुणज होती हैं। / Subtracting the sum of multiples of (36) from the sum of multiples of (9) gives (93753). Numbers divisible by both are multiples of (\operatorname{lcm}(9,12)).
(18) के गुणजों के योग से (72) के गुणजों का योग घटाने पर (28278) मिलता है। overlap हटाने के लिए लघुत्तम समापवर्त्य लें। / Subtracting the sum of multiples of (72) from the sum of multiples of (18) gives (28278). Use the least common multiple to remove overlap.
(5) और (8) के गुणजों के योग जोड़कर (40) के गुणजों का योग घटाने से (150500) मिलता है। दोहरी गिनती से बचना जरूरी है। / Adding sums of multiples of (5) and (8), then subtracting multiples of (40), gives (150500). Avoiding double counting is important.
(10) के गुणजों के योग से (50) के गुणजों का योग घटाने पर (39600) मिलता है। दोनों शर्तों के साझा गुणजों को हटाएँ। / Subtracting the sum of multiples of (50) from the sum of multiples of (10) gives (39600). Remove the common multiples of both conditions.
तीन अंकों की सभी संख्याओं का योग (494550) है और (11) के गुणजों का योग (44550), इसलिए उत्तर (450000) है। विभाज्य नहीं में पूरक विधि तेज होती है। / The sum of all three-digit numbers is (494550), and the sum of multiples of (11) is (44550), so the answer is (450000). For not divisible, the complement method is fast.
\(S_{33}=4983\) और \(S_{34}=5287\), इसलिए पहली बार (34) पदों पर योग (5000) से अधिक है। ऐसे प्रश्न में पिछले योग की भी जाँच करें। / \(S_{33}=4983\) and \(S_{34}=5287\), so the sum first exceeds (5000) at (34) terms. In such questions, also check the previous sum.
पहला गुणज (128), अंतिम (896) और कुल (49) पद हैं, इसलिए योग (25088) है। सीमा के अनुसार पहला पद ध्यान से चुनें। / The first multiple is (128), the last is (896), and there are (49) terms, so the sum is (25088). Choose the first term according to the range carefully.
संख्याएँ \(105,147,\ldots,987\) हैं और उनका योग (12012) है। ऐसी शर्त में नई श्रेढ़ी का अंतर (42) हो जाता है। / The numbers are \(105,147,\ldots,987\), and their sum is (12012). In this condition, the new AP has common difference (42).
पहली संख्या (114), अंतिम (988) और कुल (47) पद हैं, इसलिए योग (25897) है। विभाज्यता वाले प्रश्नों में पहला और अंतिम मान सावधानी से चुनें। / The first number is (114), the last is (988), and there are (47) terms, so the sum is (25897). In divisibility questions, choose the first and last values carefully.
संख्याएँ \(153,170,\ldots,748\) हैं और उनका योग (16218) है। सीमा के अंदर पहला और अंतिम गुणज सही चुनें। / The numbers are \(153,170,\ldots,748\), and their sum is (16218). Choose the first and last multiples within the limits correctly.
(6) के गुणजों के योग से (30) के गुणजों का योग घटाने पर (66336) मिलता है। (6) और (15) दोनों से विभाज्य संख्याएँ (30) की गुणज होती हैं। / Subtracting the sum of multiples of (30) from the sum of multiples of (6) gives (66336). Numbers divisible by both (6) and (15) are multiples of (30).
(12) के गुणजों के योग से (36) के गुणजों का योग घटाने पर (26460) मिलता है। overlap हटाने के लिए लघुत्तम समापवर्त्य लें। / Subtracting the sum of multiples of (36) from the sum of multiples of (12) gives (26460). Use the least common multiple to remove overlap.
(4) और (7) के गुणजों के योग जोड़कर (28) के गुणजों का योग घटाने से (87850) मिलता है। दोहरी गिनती से बचना जरूरी है। / Adding sums of multiples of (4) and (7), then subtracting multiples of (28), gives (87850). Avoiding double counting is important.
(8) के गुणजों के योग से (24) के गुणजों का योग घटाने पर (33368) मिलता है। but not वाली शर्त में पूरक घटाएँ। / Subtracting the sum of multiples of (24) from the sum of multiples of (8) gives (33368). In a but-not condition, subtract the complement.
तीन अंकों की सभी संख्याओं का योग (494550) है और (9) के गुणजों का योग (55350), इसलिए उत्तर (439200) है। not divisible में पूरक विधि तेज होती है। / The sum of all three-digit numbers is (494550), and the sum of multiples of (9) is (55350), so the answer is (439200). For not divisible, the complement method is fast.
\(S_{25}=2800\) और \(S_{26}=3029\), इसलिए पहली बार (26) पदों पर योग (3000) से अधिक है। ऐसे प्रश्न में पिछले योग की भी जाँच करें। / \(S_{25}=2800\) and \(S_{26}=3029\), so the sum first exceeds (3000) at (26) terms. In such questions, also check the previous sum.
पहला गुणज (91), अंतिम (598) और कुल (40) पद हैं, इसलिए योग (13780) है। सीमा के अनुसार पहला पद ध्यान से चुनें। / The first multiple is (91), the last is (598), and there are (40) terms, so the sum is (13780). Choose the first term according to the range carefully.
संख्याएँ \(105,135,\ldots,975\) हैं और उनका योग (16200) है। ऐसी शर्त में नई श्रेढ़ी का अंतर (30) हो जाता है। / The numbers are \(105,135,\ldots,975\), and their sum is (16200). In this condition, the new AP has common difference (30).
पहली संख्या (102), अंतिम (986) और कुल (53) पद हैं, इसलिए योग (28832) है। विभाज्यता वाले प्रश्नों में पहला और अंतिम मान सावधानी से चुनें। / The first number is (102), the last is (986), and there are (53) terms, so the sum is (28832). In divisibility questions, choose the first and last values carefully.
संख्याएँ \(210,224,\ldots,798\) हैं और उनका योग (21672) है। सीमा के अंदर पहला और अंतिम गुणज सही चुनें। / The numbers are \(210,224,\ldots,798\), and their sum is (21672). Choose the first and last multiples within the limits correctly.
(4) के गुणजों का योग (125500) और (20) के गुणजों का योग (25500) है, इसलिए उत्तर (100000) है। \(\operatorname{lcm}\) से overlap हटाएँ। / The sum of multiples of (4) is (125500), and the sum of multiples of (20) is (25500), so the answer is (100000). Remove overlap using \(\operatorname{lcm}\).
संख्याएँ \(200,216,\ldots,488\) हैं और उनका योग (6536) है। but not वाली शर्त से अक्सर नई AP बनती है। / The numbers are \(200,216,\ldots,488\), and their sum is (6536). A but-not condition often forms a new AP.
(3) और (5) के गुणजों के योग जोड़कर (15) के गुणजों का योग घटाने से (58418) मिलता है। दोहरी गिनती से बचना जरूरी है। / Adding sums of multiples of (3) and (5), then subtracting multiples of (15), gives (58418). Avoiding double counting is important.
संख्याएँ \(102,114,\ldots,990\) हैं और उनका योग (40950) है। ऐसी शर्त में (12) के अंतर वाली नई श्रेढ़ी बनती है। / The numbers are \(102,114,\ldots,990\), and their sum is (40950). In such a condition, a new AP with common difference (12) is formed.
दो अंकों की सभी संख्याओं का योग (4905) है और (4) के गुणजों का योग (1188), इसलिए उत्तर (3717) है। not divisible में पूरक विधि तेज होती है। / The sum of all two-digit numbers is (4905), and the sum of multiples of (4) is (1188), so the answer is (3717). For not divisible, the complement method is fast.
\(S_{17}=986\) और \(S_{18}=1107\), इसलिए पहली बार (18) पदों पर योग (1000) से अधिक है। ऐसे प्रश्न में पिछले योग की भी जाँच करें। / \(S_{17}=986\) and \(S_{18}=1107\), so the sum first exceeds (1000) at (18) terms. In such questions, also check the previous sum.
श्रेढ़ी \(56,63,\ldots,245\) है जिसमें (28) पद हैं और योग (4214) है। सीमा के अंदर पहला और अंतिम गुणज सही चुनें। / The AP is \(56,63,\ldots,245\) with (28) terms, and the sum is (4214). Choose the first and last multiples within the limits correctly.
संख्याएँ \(117,135,\ldots,999\) हैं और (50) पदों का योग (27900) है। विषम गुणजों में अंतर (18) होगा। / The numbers are \(117,135,\ldots,999\), and the sum of (50) terms is (27900). For odd multiples, the common difference is (18).
पहली संख्या (104), अंतिम (988) और कुल (69) पद हैं, इसलिए योग (37674) है। विभाज्यता वाले प्रश्नों में पहला और अंतिम मान सावधानी से चुनें। / The first number is (104), the last is (988), and there are (69) terms, so the sum is (37674). In divisibility questions, choose the first and last values carefully.
संख्याएँ \(110,121,\ldots,495\) हैं और उनका योग (10890) है। between लिखे होने पर सिरों को शामिल करना है या नहीं यह ध्यान से देखें। / The numbers are \(110,121,\ldots,495\), and their sum is (10890). When between is written, check carefully whether endpoints are included.
संख्याएँ \(105,110,\ldots,195\) हैं और (19) पदों का योग (2850) है। बीच का अर्थ अक्सर सिरों को शामिल नहीं करता। / The numbers are \(105,110,\ldots,195\), and the sum of (19) terms is (2850). The word between often excludes endpoints.
श्रेढ़ी \(108,117,\ldots,999\) है जिसमें (100) पद हैं, इसलिए योग (55350) नहीं बल्कि (55350) होगा। अंतिम पद और पदों की संख्या सावधानी से निकालें। / The AP is \(108,117,\ldots,999\) with (100) terms, so the sum is (55350), not (60984). Find the last term and number of terms carefully.
संख्याएँ \(12,16,\ldots,96\) हैं और (22) पद हैं, इसलिए योग (1188) है। दो अंकों की सीमा ध्यान से लगाएँ। / The numbers are \(12,16,\ldots,96\), and there are (22) terms, so the sum is (1188). Apply the two-digit limit carefully.
संख्याएँ \(208,224,\ldots,496\) हैं और (19) पद हैं, इसलिए योग (6688) है। पदों की संख्या निकालना न भूलें। / The numbers are \(208,224,\ldots,496\), and there are (19) terms, so the sum is (6688). Do not forget to find the number of terms.
