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Expert Mathematics Real Numbers Class 10 Level 17

यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है, तो प्रमाण में (p) और (q) दोनों पर (3) की विभाज्यता दिखाने का मुख्य उद्देश्य क्या है?

If assuming \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) gives \(p^2=3q^2\), what is the main purpose of showing divisibility by (3) for both (p) and (q) in the proof?

Explanation opens after your attempt
Correct Answer

A. सरलतम भिन्न की सहअभाज्यता से विरोधाभास दिखानाTo show a contradiction with coprimality of the lowest-form fraction

Step 1

Concept

Assuming \(\sqrt{3}\) rational, \(\frac{p}{q}\) is taken in lowest form.

Step 2

Why this answer is correct

The proof gives \(3\mid p\) and \(3\mid q\), so (3) is a common factor of both.

Step 3

Exam Tip

A lowest-form fraction cannot have a common factor, so \(\sqrt{3}\) is proved irrational. चरण 1: \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में लिया जाता है। चरण 2: प्रमाण से \(3\mid p\) और \(3\mid q\) मिलता है, यानी दोनों में (3) साझा गुणनखंड है। चरण 3: सरलतम भिन्न में साझा गुणनखंड नहीं हो सकता, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय सिद्ध होती है।

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Mathematics Answer, Explanation and Revision Hints

यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है, तो प्रमाण में (p) और (q) दोनों पर (3) की विभाज्यता दिखाने का मुख्य उद्देश्य क्या है? / If assuming \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) gives \(p^2=3q^2\), what is the main purpose of showing divisibility by (3) for both (p) and (q) in the proof?

Correct Answer: A. सरलतम भिन्न की सहअभाज्यता से विरोधाभास दिखाना / To show a contradiction with coprimality of the lowest-form fraction. Explanation: चरण 1: \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में लिया जाता है। चरण 2: प्रमाण से \(3\mid p\) और \(3\mid q\) मिलता है, यानी दोनों में (3) साझा गुणनखंड है। चरण 3: सरलतम भिन्न में साझा गुणनखंड नहीं हो सकता, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय सिद्ध होती है। / Step 1: Assuming \(\sqrt{3}\) rational, \(\frac{p}{q}\) is taken in lowest form. Step 2: The proof gives \(3\mid p\) and \(3\mid q\), so (3) is a common factor of both. Step 3: A lowest-form fraction cannot have a common factor, so \(\sqrt{3}\) is proved irrational.

Which concept should I revise for this Mathematics MCQ?

Assuming \(\sqrt{3}\) rational, \(\frac{p}{q}\) is taken in lowest form.

What exam hint can help solve this Mathematics question?

A lowest-form fraction cannot have a common factor, so \(\sqrt{3}\) is proved irrational. चरण 1: \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में लिया जाता है। चरण 2: प्रमाण से \(3\mid p\) और \(3\mid q\) मिलता है, यानी दोनों में (3) साझा गुणनखंड है। चरण 3: सरलतम भिन्न में साझा गुणनखंड नहीं हो सकता, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय सिद्ध होती है।