एक विद्यार्थी मानता है कि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। वर्ग करने पर उसे \(p^2=2q^2\) मिलता है। निम्नलिखित में से कौन-सा अगला निष्कर्ष वैध है?
A student assumes that \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime integers. On squaring, the student gets \(p^2=2q^2\). Which of the following is the valid next inference?
Correct answer and explanation
A. \(p\) सम है, अतः किसी पूर्णांक \(k\) के लिए \(p=2k\)।\(p\) is even, so \(p=2k\) for some integer \(k\).
Simple Explanation
\(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम है। किसी पूर्णांक का वर्ग सम हो तो वह पूर्णांक भी सम होता है, इसलिए \(p=2k\)। इसे रखने पर \(q\) भी सम निकलता है, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा में ‘वर्ग सम ⇒ संख्या सम’ नियम याद रखें। / From \(p^2=2q^2\), \(p^2\) is even. If the square of an integer is even, the integer itself is even; hence \(p=2k\). Substitution then makes \(q\) even too, contradicting coprimality. Exam tip: remember “even square implies even integer.”
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