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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Expert Level 17

एक विद्यार्थी दावा करता है कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) है, जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं। \(p^2=3q^2\) से \(p\) के बारे में कौन-सा निष्कर्ष अनिवार्य है?

A student claims that \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime positive integers. From \(p^2=3q^2\), which conclusion about \(p\) is necessary?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
Correct answer and explanation
Correct Answer

A. \(p\) 3 से विभाज्य है

Explanation

Simple Explanation

\(p^2=3q^2\) से \(p^2\), 3 से विभाज्य है। क्योंकि 3 अभाज्य है, यदि उसका वर्ग किसी संख्या के वर्ग को विभाजित करे तो वह संख्या स्वयं 3 से विभाज्य होती है; अतः \(p=3k\)। फिर रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य निकलता है, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य गुणनखंड वाले वर्ग पर यह नियम तुरंत लगाएँ। / Since \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by 3. As 3 is prime, divisibility of \(p^2\) by 3 implies that \(p\) itself is divisible by 3; write \(p=3k\). Substitution then makes \(q\) divisible by 3 too, contradicting coprimality. Exam tip: use the prime-divides-a-square rule in such proofs.

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एक विद्यार्थी दावा करता है कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) है, जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं। \(p^2=3q^2\) से \(p\) के बारे में कौन-सा निष्कर्ष अनिवार्य है? / A student claims that \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime positive integers. From \(p^2=3q^2\), which conclusion about \(p\) is necessary?

Correct Answer: A. \(p\) 3 से विभाज्य है. Explanation: \(p^2=3q^2\) से \(p^2\), 3 से विभाज्य है। क्योंकि 3 अभाज्य है, यदि उसका वर्ग किसी संख्या के वर्ग को विभाजित करे तो वह संख्या स्वयं 3 से विभाज्य होती है; अतः \(p=3k\)। फिर रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य निकलता है, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य गुणनखंड वाले वर्ग पर यह नियम तुरंत लगाएँ। / Since \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by 3. As 3 is prime, divisibility of \(p^2\) by 3 implies that \(p\) itself is divisible by 3; write \(p=3k\). Substitution then makes \(q\) divisible by 3 too, contradicting coprimality. Exam tip: use the prime-divides-a-square rule in such proofs.