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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Expert Level 17

रीमा ने मान लिया कि \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\), जहाँ \(a\) और \(b\) सह-अभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं। उसके प्रमाण में कौन-सा निष्कर्ष विरोधाभास स्थापित करता है?

Rima assumes that \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\), where \(a\) and \(b\) are coprime positive integers. Which conclusion in her proof establishes a contradiction?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
Correct answer and explanation
Correct Answer

A. \(a\) और \(b\) दोनों 3 से विभाज्य हैंBoth \(a\) and \(b\) are divisible by 3

Explanation

Simple Explanation

\(a^2=3b^2\) से 3, \(a\) का गुणनखंड है। \(a=3k\) रखने पर \(b^2=3k^2\), इसलिए 3, \(b\) का भी गुणनखंड है। दोनों सह-अभाज्य नहीं रहेंगे। टिप: अभाज्य विभाजक नियम लागू करें। / From \(a^2=3b^2\), prime divisibility gives \(3\mid a\). Put \(a=3k\): then \(b^2=3k^2\), so \(3\mid b\) too. This contradicts coprimality. Exam tip: explicitly state the prime-divisor rule.

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रीमा ने मान लिया कि \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\), जहाँ \(a\) और \(b\) सह-अभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं। उसके प्रमाण में कौन-सा निष्कर्ष विरोधाभास स्थापित करता है? / Rima assumes that \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\), where \(a\) and \(b\) are coprime positive integers. Which conclusion in her proof establishes a contradiction?

Correct Answer: A. \(a\) और \(b\) दोनों 3 से विभाज्य हैं / Both \(a\) and \(b\) are divisible by 3. Explanation: \(a^2=3b^2\) से 3, \(a\) का गुणनखंड है। \(a=3k\) रखने पर \(b^2=3k^2\), इसलिए 3, \(b\) का भी गुणनखंड है। दोनों सह-अभाज्य नहीं रहेंगे। टिप: अभाज्य विभाजक नियम लागू करें। / From \(a^2=3b^2\), prime divisibility gives \(3\mid a\). Put \(a=3k\): then \(b^2=3k^2\), so \(3\mid b\) too. This contradicts coprimality. Exam tip: explicitly state the prime-divisor rule.