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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Expert Level 17

आरव ने मान लिया कि \(\sqrt{3}=\frac{m}{n}\), जहाँ \(m\) और \(n\) सह-अभाज्य हैं। \(m^2=3n^2\) प्राप्त करने पर वह कहता है कि \(m^2\) का 3 से विभाज्य होना, \(m\) के 3 से विभाज्य होने को सिद्ध नहीं करता। आरव की त्रुटि को कौन-सा तथ्य ठीक करता है?

Aarav assumes that \(\sqrt{3}=\frac{m}{n}\), where \(m\) and \(n\) are coprime. After obtaining \(m^2=3n^2\), he says that divisibility of \(m^2\) by 3 does not prove that \(m\) is divisible by 3. Which fact corrects Aarav’s error?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
Correct answer and explanation
Correct Answer

A. यदि कोई अभाज्य संख्या किसी पूर्णांक के वर्ग को विभाजित करती है, तो वह उस पूर्णांक को भी विभाजित करती है।If a prime divides the square of an integer, it also divides that integer.

Explanation

Simple Explanation

\(m^2=3n^2\) से \(m^2\) 3 से विभाज्य है। 3 अभाज्य है, इसलिए \(m\) भी 3 से विभाज्य होगा; आगे \(n\) भी 3 से विभाज्य निकलता है, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य गुणनखंड का नियम याद रखें। / From \(m^2=3n^2\), \(m^2\) is divisible by 3. Since 3 is prime, \(m\) must be divisible by 3; then \(n\) also becomes divisible by 3, contradicting coprimality. Exam tip: use the prime-divides-a-square rule in such proofs.

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Correct Answer: A. यदि कोई अभाज्य संख्या किसी पूर्णांक के वर्ग को विभाजित करती है, तो वह उस पूर्णांक को भी विभाजित करती है। / If a prime divides the square of an integer, it also divides that integer.. Explanation: \(m^2=3n^2\) से \(m^2\) 3 से विभाज्य है। 3 अभाज्य है, इसलिए \(m\) भी 3 से विभाज्य होगा; आगे \(n\) भी 3 से विभाज्य निकलता है, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य गुणनखंड का नियम याद रखें। / From \(m^2=3n^2\), \(m^2\) is divisible by 3. Since 3 is prime, \(m\) must be divisible by 3; then \(n\) also becomes divisible by 3, contradicting coprimality. Exam tip: use the prime-divides-a-square rule in such proofs.