विरोधाभास विधि से \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय मान लेते हैं कि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। निम्नलिखित में से कौन-सा निष्कर्ष इस मान्यता को असंभव सिद्ध करता है?
While proving the irrationality of \(\sqrt{2}\) by contradiction, assume that \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime integers. Which conclusion makes this assumption impossible?
Correct answer and explanation
A. \(p\) और \(q\) दोनों सम हैं, इसलिए वे सह-अभाज्य नहीं हो सकते।Both \(p\) and \(q\) are even, so they cannot be coprime.
Simple Explanation
\(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम होता है, अतः \(p\) सम है। \(p=2k\) रखने पर \(q^2=2k^2\) मिलता है, इसलिए \(q\) भी सम है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: सम वर्ग से मूल संख्या भी सम होती है। / From \(p^2=2q^2\), \(p^2\) is even, so \(p\) is even. Putting \(p=2k\) gives \(q^2=2k^2\), making \(q\) even too. This contradicts coprimality. Exam tip: if a square is even, its integer root is even.
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