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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Expert Level 16

मान लें कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। इस मान्यता से उत्पन्न विरोधाभास कौन-सा है?

Suppose \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime integers. Which contradiction follows from this assumption?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
Correct answer and explanation
Correct Answer

A. 3, \(p\) और \(q\) दोनों को विभाजित करता है3 divides both \(p\) and \(q\)

Explanation

Simple Explanation

\(3q^2=p^2\) से \(p^2\) 3 से विभाज्य है, इसलिए \(p\) भी 3 से विभाज्य होगा। \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य मिलता है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा में वर्ग के अभाज्य गुणनखंड पर ध्यान दें। / From \(3q^2=p^2\), \(p^2\) is divisible by 3, so \(p\) is divisible by 3. Substituting \(p=3k\) shows that \(q\) is also divisible by 3, contradicting coprimality. Exam tip: use the prime-divisor property of a square.

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मान लें कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। इस मान्यता से उत्पन्न विरोधाभास कौन-सा है? / Suppose \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime integers. Which contradiction follows from this assumption?

Correct Answer: A. 3, \(p\) और \(q\) दोनों को विभाजित करता है / 3 divides both \(p\) and \(q\). Explanation: \(3q^2=p^2\) से \(p^2\) 3 से विभाज्य है, इसलिए \(p\) भी 3 से विभाज्य होगा। \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य मिलता है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा में वर्ग के अभाज्य गुणनखंड पर ध्यान दें। / From \(3q^2=p^2\), \(p^2\) is divisible by 3, so \(p\) is divisible by 3. Substituting \(p=3k\) shows that \(q\) is also divisible by 3, contradicting coprimality. Exam tip: use the prime-divisor property of a square.