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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Expert Level 16

एक विद्यार्थी ने \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानकर \(p,q\) को सह-अभाज्य लिया और \(p^2=3q^2\) पाया। उसने केवल इतना दिखाया कि \(3\mid p\) और वहीं विरोधाभास घोषित कर दिया। उसके प्रमाण को सही ढंग से पूरा करने वाला कदम कौन-सा है?

A student assumes \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime, and obtains \(p^2=3q^2\). The student shows only that \(3\mid p\) and declares a contradiction. Which step correctly completes the proof?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
Correct answer and explanation
Correct Answer

A. \(p=3k\) रखकर \(q^2=3k^2\) प्राप्त करें; अतः \(3\mid q\) भी होगा।Put \(p=3k\) to get \(q^2=3k^2\); hence \(3\mid q\) as well.

Explanation

Simple Explanation

केवल \(3\mid p\) होने से सह-अभाज्यता नहीं टूटती। \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\) मिलता है, इसलिए \(3\mid q\) भी है। अब \(p,q\) का 3 समान गुणनखंड है। परीक्षा में दोनों संख्याओं की विभाज्यता दिखाएँ। / \(3\mid p\) alone does not contradict coprimality. Put \(p=3k\): \(9k^2=3q^2\), so \(q^2=3k^2\) and \(3\mid q\). Thus both have a common factor 3. Exam tip: prove divisibility for both terms.

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एक विद्यार्थी ने \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानकर \(p,q\) को सह-अभाज्य लिया और \(p^2=3q^2\) पाया। उसने केवल इतना दिखाया कि \(3\mid p\) और वहीं विरोधाभास घोषित कर दिया। उसके प्रमाण को सही ढंग से पूरा करने वाला कदम कौन-सा है? / A student assumes \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime, and obtains \(p^2=3q^2\). The student shows only that \(3\mid p\) and declares a contradiction. Which step correctly completes the proof?

Correct Answer: A. \(p=3k\) रखकर \(q^2=3k^2\) प्राप्त करें; अतः \(3\mid q\) भी होगा। / Put \(p=3k\) to get \(q^2=3k^2\); hence \(3\mid q\) as well.. Explanation: केवल \(3\mid p\) होने से सह-अभाज्यता नहीं टूटती। \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\) मिलता है, इसलिए \(3\mid q\) भी है। अब \(p,q\) का 3 समान गुणनखंड है। परीक्षा में दोनों संख्याओं की विभाज्यता दिखाएँ। / \(3\mid p\) alone does not contradict coprimality. Put \(p=3k\): \(9k^2=3q^2\), so \(q^2=3k^2\) and \(3\mid q\). Thus both have a common factor 3. Exam tip: prove divisibility for both terms.