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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Hard Level 18

एक विद्यार्थी \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते हुए मानता है कि \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\), जहाँ \(a\) और \(b\) सह-अभाज्य हैं। \(a^2=3b^2\) मिलने पर वह कहता है कि \(a\) और \(b\) दोनों 3 से विभाज्य हैं। इस निष्कर्ष को सही ठहराने के लिए कौन-सा तर्क आवश्यक है?

While proving the irrationality of \(\sqrt{3}\), a student assumes \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\), where \(a\) and \(b\) are coprime. After obtaining \(a^2=3b^2\), the student states that both \(a\) and \(b\) are divisible by 3. Which reasoning is necessary to justify this conclusion?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
Correct answer and explanation
Correct Answer

B. पहले \(3\mid a^2\) से \(a=3k\) लें, फिर प्रतिस्थापन से \(b^2=3k^2\) पाकर \(3\mid b\) सिद्ध करें।First use \(3\mid a^2\) to write \(a=3k\), then substitute to get \(b^2=3k^2\) and prove \(3\mid b\).

Explanation

Simple Explanation

\(a^2=3b^2\) से \(3\mid a^2\), अतः 3 अभाज्य होने के कारण \(3\mid a\)। \(a=3k\) रखने पर \(b^2=3k^2\) मिलता है, इसलिए \(3\mid b\)। यह सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: प्रतिस्थापन का चरण अवश्य लिखें। / From \(a^2=3b^2\), \(3\mid a^2\), so prime-factor reasoning gives \(3\mid a\). Put \(a=3k\) to obtain \(b^2=3k^2\), hence \(3\mid b\), contradicting coprimality. Exam tip: always show the substitution step.

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एक विद्यार्थी \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते हुए मानता है कि \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\), जहाँ \(a\) और \(b\) सह-अभाज्य हैं। \(a^2=3b^2\) मिलने पर वह कहता है कि \(a\) और \(b\) दोनों 3 से विभाज्य हैं। इस निष्कर्ष को सही ठहराने के लिए कौन-सा तर्क आवश्यक है? / While proving the irrationality of \(\sqrt{3}\), a student assumes \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\), where \(a\) and \(b\) are coprime. After obtaining \(a^2=3b^2\), the student states that both \(a\) and \(b\) are divisible by 3. Which reasoning is necessary to justify this conclusion?

Correct Answer: B. पहले \(3\mid a^2\) से \(a=3k\) लें, फिर प्रतिस्थापन से \(b^2=3k^2\) पाकर \(3\mid b\) सिद्ध करें। / First use \(3\mid a^2\) to write \(a=3k\), then substitute to get \(b^2=3k^2\) and prove \(3\mid b\).. Explanation: \(a^2=3b^2\) से \(3\mid a^2\), अतः 3 अभाज्य होने के कारण \(3\mid a\)। \(a=3k\) रखने पर \(b^2=3k^2\) मिलता है, इसलिए \(3\mid b\)। यह सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: प्रतिस्थापन का चरण अवश्य लिखें। / From \(a^2=3b^2\), \(3\mid a^2\), so prime-factor reasoning gives \(3\mid a\). Put \(a=3k\) to obtain \(b^2=3k^2\), hence \(3\mid b\), contradicting coprimality. Exam tip: always show the substitution step.