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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Hard Level 18

मान लें कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। इस मान्यता से कौन-सा निष्कर्ष निकलता है जो विरोधाभास उत्पन्न करता है?

Suppose \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime integers. Which conclusion follows from this assumption and produces a contradiction?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
Correct answer and explanation
Correct Answer

A. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैंBoth \(p\) and \(q\) are divisible by 3.

Explanation

Simple Explanation

\(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\), इसलिए \(3\mid p\)। \(p=3k\) रखने पर \(3\mid q\) भी मिलता है, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। 2 से विभाज्यता \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में आती है। परीक्षा में अभाज्य गुणनखंड नियम लिखें। / From \(p^2=3q^2\), \(3\mid p^2\) implies \(3\mid p\). Put \(p=3k\); then \(3\mid q\), contradicting coprimality. The idea of both numbers being even belongs to the proof for \(\sqrt{2}\). Exam tip: state the prime-divisor rule clearly.

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Correct Answer: A. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैं / Both \(p\) and \(q\) are divisible by 3.. Explanation: \(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\), इसलिए \(3\mid p\)। \(p=3k\) रखने पर \(3\mid q\) भी मिलता है, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। 2 से विभाज्यता \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में आती है। परीक्षा में अभाज्य गुणनखंड नियम लिखें। / From \(p^2=3q^2\), \(3\mid p^2\) implies \(3\mid p\). Put \(p=3k\); then \(3\mid q\), contradicting coprimality. The idea of both numbers being even belongs to the proof for \(\sqrt{2}\). Exam tip: state the prime-divisor rule clearly.