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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Hard Level 18

यदि \(m=2k\) और \(n^2=2k^2\) है, तो \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में संयुक्त निष्कर्ष क्या है?

If \(m=2k\) and \(n^2=2k^2\), what is the combined conclusion in the proof of \(\sqrt{2}\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
Correct answer and explanation
Correct Answer

A. \(m\) और \(n\) दोनों सम हैंBoth \(m\) and \(n\) are even

Explanation

Simple Explanation

\(m=2k\) से स्पष्ट है कि \(m\) सम है। साथ ही, \(n^2=2k^2\) के अनुसार \(n^2\) सम है; किसी पूर्णांक का वर्ग सम होने पर वह पूर्णांक भी सम होता है, इसलिए \(n\) भी सम है। अतः \(m\) और \(n\) दोनों सम हैं। यह उस मान्यता के विरुद्ध है कि भिन्न \(m/n\) सरलतम रूप में थी। परीक्षा टिप: वर्ग सम होने से संख्या सम होने वाला तथ्य ऐसे अपरिमेयता-प्रमाणों में अवश्य लगाएँ। / From \(m=2k\), \(m\) is even. Also, \(n^2=2k^2\) shows that \(n^2\) is even; if the square of an integer is even, the integer itself must be even. Hence \(n\) is also even, so both \(m\) and \(n\) are even. This contradicts the assumption that the fraction \(m/n\) was in lowest terms. Exam tip: In irrationality proofs, remember that an even square implies an even integer.

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यदि \(m=2k\) और \(n^2=2k^2\) है, तो \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में संयुक्त निष्कर्ष क्या है? / If \(m=2k\) and \(n^2=2k^2\), what is the combined conclusion in the proof of \(\sqrt{2}\)?

Correct Answer: A. \(m\) और \(n\) दोनों सम हैं / Both \(m\) and \(n\) are even. Explanation: \(m=2k\) से स्पष्ट है कि \(m\) सम है। साथ ही, \(n^2=2k^2\) के अनुसार \(n^2\) सम है; किसी पूर्णांक का वर्ग सम होने पर वह पूर्णांक भी सम होता है, इसलिए \(n\) भी सम है। अतः \(m\) और \(n\) दोनों सम हैं। यह उस मान्यता के विरुद्ध है कि भिन्न \(m/n\) सरलतम रूप में थी। परीक्षा टिप: वर्ग सम होने से संख्या सम होने वाला तथ्य ऐसे अपरिमेयता-प्रमाणों में अवश्य लगाएँ। / From \(m=2k\), \(m\) is even. Also, \(n^2=2k^2\) shows that \(n^2\) is even; if the square of an integer is even, the integer itself must be even. Hence \(n\) is also even, so both \(m\) and \(n\) are even. This contradicts the assumption that the fraction \(m/n\) was in lowest terms. Exam tip: In irrationality proofs, remember that an even square implies an even integer.