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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Hard Level 18

एक विद्यार्थी \(\sqrt{3}\) के अपरिमेय होने के प्रमाण में \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानकर, जहाँ \(p,q\) सह-अभाज्य हैं, \(p^2=3q^2\) प्राप्त करता है। वह सीधे लिखता है कि \(q\) 3 से विभाज्य है। उसके तर्क को सही बनाने के लिए कौन-सा कथन आवश्यक है?

In a proof that \(\sqrt{3}\) is irrational, a student assumes \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime, and obtains \(p^2=3q^2\). The student directly writes that \(q\) is divisible by 3. Which statement is needed to make the reasoning valid?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
Correct answer and explanation
Correct Answer

A. यदि \(3\mid p^2\), तो \(3\mid p\); फिर \(p=3k\) रखने पर \(3\mid q\) मिलता है।If \(3\mid p^2\), then \(3\mid p\); substituting \(p=3k\) then gives \(3\mid q\).

Explanation

Simple Explanation

\(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) है। अभाज्य 3 के गुण से \(3\mid p\); \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\), अतः \(3\mid q\) भी। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य गुणनखंड वाला नियम पहले लिखें। / From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\). Since 3 is prime, \(3\mid p\); put \(p=3k\) to obtain \(q^2=3k^2\), so \(3\mid q\) too. This contradicts coprimality. Exam tip: state the prime-divides-square rule first.

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एक विद्यार्थी \(\sqrt{3}\) के अपरिमेय होने के प्रमाण में \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानकर, जहाँ \(p,q\) सह-अभाज्य हैं, \(p^2=3q^2\) प्राप्त करता है। वह सीधे लिखता है कि \(q\) 3 से विभाज्य है। उसके तर्क को सही बनाने के लिए कौन-सा कथन आवश्यक है? / In a proof that \(\sqrt{3}\) is irrational, a student assumes \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime, and obtains \(p^2=3q^2\). The student directly writes that \(q\) is divisible by 3. Which statement is needed to make the reasoning valid?

Correct Answer: A. यदि \(3\mid p^2\), तो \(3\mid p\); फिर \(p=3k\) रखने पर \(3\mid q\) मिलता है। / If \(3\mid p^2\), then \(3\mid p\); substituting \(p=3k\) then gives \(3\mid q\).. Explanation: \(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) है। अभाज्य 3 के गुण से \(3\mid p\); \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\), अतः \(3\mid q\) भी। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य गुणनखंड वाला नियम पहले लिखें। / From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\). Since 3 is prime, \(3\mid p\); put \(p=3k\) to obtain \(q^2=3k^2\), so \(3\mid q\) too. This contradicts coprimality. Exam tip: state the prime-divides-square rule first.