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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Hard Level 17

विरोधाभास विधि से \(\sqrt{2}\) के अपरिमेय होने के प्रमाण में मान लें कि \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\), जहाँ \(a\) और \(b\) सह-अभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं। अंत में कौन-सी स्थिति इस मान्यता का विरोध करती है?

In a proof by contradiction that \(\sqrt{2}\) is irrational, suppose \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\), where \(a\) and \(b\) are coprime positive integers. Which final condition contradicts this assumption?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
Correct answer and explanation
Correct Answer

A. \(a\) और \(b\) दोनों सम हैंBoth \(a\) and \(b\) are even

Explanation

Simple Explanation

\(a^2=2b^2\) से \(a^2\), और इसलिए \(a\), सम होता है। \(a=2k\) रखने पर \(b^2=2k^2\) मिलता है, अतः \(b\) भी सम है। दोनों में 2 साझा गुणनखंड होना सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: ‘सह-अभाज्य’ का अर्थ कोई साझा गुणनखंड नहीं। / From \(a^2=2b^2\), \(a^2\), hence \(a\), must be even. Put \(a=2k\); then \(b^2=2k^2\), so \(b\) is also even. A common factor 2 contradicts coprimality. Exam tip: always begin this proof with the fraction in lowest terms.

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विरोधाभास विधि से \(\sqrt{2}\) के अपरिमेय होने के प्रमाण में मान लें कि \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\), जहाँ \(a\) और \(b\) सह-अभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं। अंत में कौन-सी स्थिति इस मान्यता का विरोध करती है? / In a proof by contradiction that \(\sqrt{2}\) is irrational, suppose \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\), where \(a\) and \(b\) are coprime positive integers. Which final condition contradicts this assumption?

Correct Answer: A. \(a\) और \(b\) दोनों सम हैं / Both \(a\) and \(b\) are even. Explanation: \(a^2=2b^2\) से \(a^2\), और इसलिए \(a\), सम होता है। \(a=2k\) रखने पर \(b^2=2k^2\) मिलता है, अतः \(b\) भी सम है। दोनों में 2 साझा गुणनखंड होना सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: ‘सह-अभाज्य’ का अर्थ कोई साझा गुणनखंड नहीं। / From \(a^2=2b^2\), \(a^2\), hence \(a\), must be even. Put \(a=2k\); then \(b^2=2k^2\), so \(b\) is also even. A common factor 2 contradicts coprimality. Exam tip: always begin this proof with the fraction in lowest terms.