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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Hard Level 17

\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में कौन-सा चरण छोड़ने पर प्रमाण अधूरा हो जाएगा?

Which skipped step would make the proof of \(\sqrt{2}\) incomplete?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
Correct answer and explanation
Correct Answer

A. \(x\) सम सिद्ध करने के बाद \(y\) सम सिद्ध करनाAfter proving \(x\) even, proving \(y\) even

Explanation

Simple Explanation

मानक प्रमाण में \(\sqrt{2}=x/y\) माना जाता है, जहाँ \(x\) और \(y\) सहभाज्य पूर्णांक हैं। समीकरण \(2y^2=x^2\) से पहले \(x\) के सम होने का निष्कर्ष मिलता है। फिर \(x=2k\) रखने पर \(y\) भी सम सिद्ध होता है। इससे \(x\) और \(y\) दोनों का 2 सामान्य गुणनखंड हो जाता है, जो उनके सहभाज्य होने के विरुद्ध है। केवल \(x\) का सम होना विरोधाभास नहीं देता। परीक्षा टिप: अपरिमेयता के विरोधाभास-प्रमाण में सहभाज्य होने वाली शर्त का स्पष्ट उल्लंघन दिखाना आवश्यक है। / In the standard proof, assume \(\sqrt{2}=x/y\), where \(x\) and \(y\) are coprime integers. From \(2y^2=x^2\), we first conclude that \(x\) is even. Substituting \(x=2k\) then shows that \(y\) is also even. Thus, both \(x\) and \(y\) have the common factor 2, contradicting the assumption that they are coprime. Showing only that \(x\) is even gives no contradiction. Exam tip: In a contradiction proof of irrationality, explicitly reach a violation of the coprime condition.

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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में कौन-सा चरण छोड़ने पर प्रमाण अधूरा हो जाएगा? / Which skipped step would make the proof of \(\sqrt{2}\) incomplete?

Correct Answer: A. \(x\) सम सिद्ध करने के बाद \(y\) सम सिद्ध करना / After proving \(x\) even, proving \(y\) even. Explanation: मानक प्रमाण में \(\sqrt{2}=x/y\) माना जाता है, जहाँ \(x\) और \(y\) सहभाज्य पूर्णांक हैं। समीकरण \(2y^2=x^2\) से पहले \(x\) के सम होने का निष्कर्ष मिलता है। फिर \(x=2k\) रखने पर \(y\) भी सम सिद्ध होता है। इससे \(x\) और \(y\) दोनों का 2 सामान्य गुणनखंड हो जाता है, जो उनके सहभाज्य होने के विरुद्ध है। केवल \(x\) का सम होना विरोधाभास नहीं देता। परीक्षा टिप: अपरिमेयता के विरोधाभास-प्रमाण में सहभाज्य होने वाली शर्त का स्पष्ट उल्लंघन दिखाना आवश्यक है। / In the standard proof, assume \(\sqrt{2}=x/y\), where \(x\) and \(y\) are coprime integers. From \(2y^2=x^2\), we first conclude that \(x\) is even. Substituting \(x=2k\) then shows that \(y\) is also even. Thus, both \(x\) and \(y\) have the common factor 2, contradicting the assumption that they are coprime. Showing only that \(x\) is even gives no contradiction. Exam tip: In a contradiction proof of irrationality, explicitly reach a violation of the coprime condition.