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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Hard Level 17

मानक प्रमाण में ext{मान लें } ext{ } \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं। \(p^2=3q^2\) से विरोधाभास स्थापित करने के लिए निम्न में से कौन-सा संख्या-सिद्धांत तथ्य आवश्यक है?

In the standard proof, assume that \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime. Which number-theoretic fact is needed to obtain a contradiction from \(p^2=3q^2\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
Correct answer and explanation
Correct Answer

A. यदि 3, \(p^2\) को विभाजित करता है, तो 3, \(p\) को विभाजित करता हैIf 3 divides \(p^2\), then 3 divides \(p\).

Explanation

Simple Explanation

क्योंकि 3 अभाज्य है, \(3\mid p^2\) से \(3\mid p\) मिलता है। \(p=3k\) रखने पर \(3\mid q\) भी आता है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। टिप: अभाज्य के वर्ग-विभाज्यता नियम को याद रखें। / Since 3 is prime, \(3\mid p^2\) implies \(3\mid p\). Substituting \(p=3k\) in \(p^2=3q^2\) gives \(3\mid q\), contradicting coprimality. Exam tip: remember this prime-divisibility rule.

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मानक प्रमाण में ext{मान लें } ext{ } \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं। \(p^2=3q^2\) से विरोधाभास स्थापित करने के लिए निम्न में से कौन-सा संख्या-सिद्धांत तथ्य आवश्यक है? / In the standard proof, assume that \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime. Which number-theoretic fact is needed to obtain a contradiction from \(p^2=3q^2\)?

Correct Answer: A. यदि 3, \(p^2\) को विभाजित करता है, तो 3, \(p\) को विभाजित करता है / If 3 divides \(p^2\), then 3 divides \(p\).. Explanation: क्योंकि 3 अभाज्य है, \(3\mid p^2\) से \(3\mid p\) मिलता है। \(p=3k\) रखने पर \(3\mid q\) भी आता है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। टिप: अभाज्य के वर्ग-विभाज्यता नियम को याद रखें। / Since 3 is prime, \(3\mid p^2\) implies \(3\mid p\). Substituting \(p=3k\) in \(p^2=3q^2\) gives \(3\mid q\), contradicting coprimality. Exam tip: remember this prime-divisibility rule.