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Subjects
Class 12 Mathematics Relations and Functions Functions Expert Level 19

निम्नलिखित में से कौन-सा फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) एक-एक है, परंतु आच्छादक नहीं है?

Which of the following functions \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is one-one but not onto?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
Correct answer and explanation
Correct Answer

A. \(f(x)=e^x\)

Explanation

Simple Explanation

\(f(x)=e^x\) सभी वास्तविक \(x\) के लिए धनात्मक होता है और यह सख्ती से वर्धमान है। इसलिए अलग-अलग इनपुटों के लिए अलग-अलग आउटपुट मिलते हैं, अतः यह एक-एक है। लेकिन इसका कोई भी आउटपुट 0 या ऋणात्मक नहीं हो सकता, इसलिए इसका परास \((0,\infty)\) है और यह \(\mathbb{R}\) पर आच्छादक नहीं है। \(x^3\) एक-एक तथा आच्छादक दोनों है, जबकि \(x^2\) एक-एक नहीं है। परीक्षा टिप: आच्छादकता जाँचने के लिए देखें कि सह-परास का प्रत्येक तत्व फलन के परास में आता है या नहीं। / For \(f(x)=e^x\), the output is positive for every real \(x\), and the function is strictly increasing. Hence, distinct inputs give distinct outputs, so it is one-one. However, it never produces 0 or a negative value; its range is \((0,\infty)\). Therefore, it is not onto \(\mathbb{R}\). The function \(x^3\) is both one-one and onto, whereas \(x^2\) is not one-one. Exam tip: To test whether a function is onto, check whether every element of the codomain occurs in its range.

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निम्नलिखित में से कौन-सा फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) एक-एक है, परंतु आच्छादक नहीं है? / Which of the following functions \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is one-one but not onto?

Correct Answer: A. \(f(x)=e^x\). Explanation: \(f(x)=e^x\) सभी वास्तविक \(x\) के लिए धनात्मक होता है और यह सख्ती से वर्धमान है। इसलिए अलग-अलग इनपुटों के लिए अलग-अलग आउटपुट मिलते हैं, अतः यह एक-एक है। लेकिन इसका कोई भी आउटपुट 0 या ऋणात्मक नहीं हो सकता, इसलिए इसका परास \((0,\infty)\) है और यह \(\mathbb{R}\) पर आच्छादक नहीं है। \(x^3\) एक-एक तथा आच्छादक दोनों है, जबकि \(x^2\) एक-एक नहीं है। परीक्षा टिप: आच्छादकता जाँचने के लिए देखें कि सह-परास का प्रत्येक तत्व फलन के परास में आता है या नहीं। / For \(f(x)=e^x\), the output is positive for every real \(x\), and the function is strictly increasing. Hence, distinct inputs give distinct outputs, so it is one-one. However, it never produces 0 or a negative value; its range is \((0,\infty)\). Therefore, it is not onto \(\mathbb{R}\). The function \(x^3\) is both one-one and onto, whereas \(x^2\) is not one-one. Exam tip: To test whether a function is onto, check whether every element of the codomain occurs in its range.