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Subjects
Class 11 Mathematics Permutations and Combinations Combinations Expert Level 63

(10) तत्वों वाले समुच्चय के विषम संख्या तत्वों वाले उपसमुच्चयों की संख्या कितनी है?

How many subsets with an odd number of elements does a set of (10) elements have?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
Correct answer and explanation
Correct Answer

C. 512

Explanation

Simple Explanation

10 तत्वों के समुच्चय के कुल उपसमुच्चय \(2^{10}=1024\) होते हैं। प्रत्येक सम आकार वाले उपसमुच्चय को किसी एक निश्चित तत्व की सदस्यता बदलकर विषम आकार वाले उपसमुच्चय से जोड़ा जा सकता है; इसलिए सम और विषम आकार वाले उपसमुच्चयों की संख्या बराबर होती है। अतः विषम आकार वाले उपसमुच्चय \(1024/2=512\) हैं। \(1024\) कुल उपसमुच्चयों की संख्या है, केवल विषम आकार वालों की नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(n\geq1\) के लिए सम तथा विषम आकार के उपसमुच्चय प्रत्येक \(2^{n-1}\) होते हैं। / A set with 10 elements has \(2^{10}=1024\) subsets in total. Every even-sized subset can be paired with an odd-sized subset by toggling the membership of one fixed element, so the numbers of even- and odd-sized subsets are equal. Hence, the number of odd-sized subsets is \(1024/2=512\). \(1024\) is the total number of subsets, not just the odd-sized ones. Exam tip: for \(n\geq1\), the number of even-sized subsets and odd-sized subsets is each \(2^{n-1}\).

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(10) तत्वों वाले समुच्चय के विषम संख्या तत्वों वाले उपसमुच्चयों की संख्या कितनी है? / How many subsets with an odd number of elements does a set of (10) elements have?

Correct Answer: C. 512. Explanation: 10 तत्वों के समुच्चय के कुल उपसमुच्चय \(2^{10}=1024\) होते हैं। प्रत्येक सम आकार वाले उपसमुच्चय को किसी एक निश्चित तत्व की सदस्यता बदलकर विषम आकार वाले उपसमुच्चय से जोड़ा जा सकता है; इसलिए सम और विषम आकार वाले उपसमुच्चयों की संख्या बराबर होती है। अतः विषम आकार वाले उपसमुच्चय \(1024/2=512\) हैं। \(1024\) कुल उपसमुच्चयों की संख्या है, केवल विषम आकार वालों की नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(n\geq1\) के लिए सम तथा विषम आकार के उपसमुच्चय प्रत्येक \(2^{n-1}\) होते हैं। / A set with 10 elements has \(2^{10}=1024\) subsets in total. Every even-sized subset can be paired with an odd-sized subset by toggling the membership of one fixed element, so the numbers of even- and odd-sized subsets are equal. Hence, the number of odd-sized subsets is \(1024/2=512\). \(1024\) is the total number of subsets, not just the odd-sized ones. Exam tip: for \(n\geq1\), the number of even-sized subsets and odd-sized subsets is each \(2^{n-1}\).