Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
कोर विचार: सूचक (indices) \(a_{ij}\) में \(i\) पंक्ति और \(j\) स्तम्भ दर्शाता है। यहाँ \(a_{31}\) के लिए \(i=3\) और \(j=1\)। दिए गए सूत्र में मान रखकर \(a_{31}=2(3)-1=6-1=5\)। इसलिए सही उत्तर 5 है। निकटस्थ भ्रान्ति: विकल्प B (4) तब आ सकता है जब कोई गलत‑सौरूप से \(j=2\) ले ले या गणना में गलती करे (उदा. \(6-2=4\))। परीक्षा टिप: सूचक लिखते समय पंक्ति‑स्तम्भ के सही क्रम की पुष्टि करें और पहले सूचक फिर सूत्र में प्रतिस्थापित करें। / Core concept: In \(a_{ij}\), \(i\) denotes the row and \(j\) the column. For \(a_{31}\) we have \(i=3\), \(j=1\). Substitute into the formula: \(a_{31}=2(3)-1=6-1=5\). Thus the correct value is 5. Closest distractor: option B (4) may arise if someone mistakenly used \(j=2\) or made an arithmetic slip. Exam tip: always check the order of indices (row, column) and substitute them into the formula before simplifying.
\(a_{ij}=i\) में प्रत्येक पंक्ति के सभी अवयव उसी पंक्ति संख्या के बराबर होंगे। पहली पंक्ति में (1) और दूसरी में (2) आएगा। / In \(a_{ij}=i\), all elements in a row equal the row number. The first row has (1) and the second row has (2).
A. \(A=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 1 & 2\end{bmatrix}\)
Explanation
Simple Explanation
परिभाषा के अनुसार \(a_{ij}=j\) का अर्थ है कि प्रत्येक अवयव उसकी स्तंभ-सूची (column index) के बराबर होगा। 2×2 मैट्रिक्स में पहली स्तंभ के सभी अवयव 1 होंगे और दूसरी स्तंभ के सभी अवयव 2 होंगे। इसलिए मैट्रिक्स \(A=\begin{bmatrix}1&2\\1&2\end{bmatrix}\) बनेगा। विकल्प B गलत है क्योंकि वह \(a_{ij}=i\) (पंक्ति-सूची) जैसा परिणाम देता है, और C तथा D भी किसी भी रूप में स्तंभ-सूची नियम का पालन नहीं करते। परीक्षा टिप: सूचकांक \(i,j\) लिखकर हर स्थान पर सीधे नियम लागू करें — इससे भूल होने की संभावना कम होती है। / By definition \(a_{ij}=j\) means each entry equals its column index. In a 2×2 matrix all entries in column 1 are 1 and all entries in column 2 are 2. Thus \(A=\begin{bmatrix}1&2\\1&2\end{bmatrix}\). Option B would correspond to \(a_{ij}=i\) (row index) and is therefore incorrect; options C and D do not follow the column-index rule either. Exam tip: write down the indices \(i,j\) for each position and substitute the rule to avoid sign/index errors.
विकर्ण मैट्रिक्स में मुख्य विकर्ण के बाहर सभी अवयव (0) होते हैं। मुख्य विकर्ण के अवयव (0) या nonzero हो सकते हैं। / In a diagonal matrix, all elements outside the main diagonal are (0). Main diagonal elements may be (0) or nonzero.
परिवर्तित मैट्रिक्स में पंक्तियां स्तंभ बन जाती हैं। इसलिए \(A^T=\begin{bmatrix}1&3\2&4\end{bmatrix}\)। / In transpose, rows become columns. Hence \(A^T=\begin{bmatrix}1&3\2&4\end{bmatrix}\).
Transpose लेने पर पंक्तियां और स्तंभ आपस में बदल जाते हैं। इसलिए \(2\times3\) का transpose \(3\times2\) होगा। / On taking transpose, rows and columns interchange. Therefore the transpose of \(2\times3\) has order \(3\times2\).
कोर अवधारणा: किसी मैट्रिक्स का मुख्य विकर्ण उस अनुक्रम को दर्शाता है जो ऊपर-बाएँ से नीचे-दाएँ तक जाता है, अर्थात् उन अवयवों के लिए पंक्ति और स्तम्भ सूचक समान होते हैं (\(i=i\))। यहाँ \(A=\begin{bmatrix}1&0\\0&2\end{bmatrix}\) में \(a_{11}=1\) और \(a_{22}=2\) हैं, इसलिए मुख्य विकर्ण के अवयव 1 और 2 हैं। निकटतम भ्रमित विकल्प D (0, 2) गलत है क्योंकि उसका पहला अवयव 0 मैट्रिक्स का \(a_{12}\) है न कि \(a_{11}\)। परीक्षा टिप: मुख्य विकर्ण के लिए हमेशा पहले और दूसरे इंडेक्स बराबर देखें (\(a_{11},a_{22},a_{33}\) ... )—ऊपर-बाएँ से नीचे-दाएँ पढ़ें। / Core idea: The main diagonal consists of entries where the row and column indices are equal (i.e. \(i=i\)), running from top-left to bottom-right. For \(A=\begin{bmatrix}1&0\\0&2\end{bmatrix}\), we have \(a_{11}=1\) and \(a_{22}=2\), so the diagonal elements are 1 and 2. The closest distractor D (0, 2) is wrong because its first entry 0 is \(a_{12}\), not a diagonal entry. Exam tip: Check positions with equal row and column indices (\(a_{11},a_{22},a_{33},\dots\)) to find the main diagonal quickly.
मुख्य विकर्ण (main diagonal) वे स्थान हैं जहाँ तत्वों के सूचकांक बराबर होते हैं (a11, a22)। इन स्थानों पर इस मैट्रिक्स में 0 और 0 हैं। off-diagonal वे तत्व होते हैं जहाँ सूचकांक बराबर नहीं होते (a12 और a21)। यहाँ a12 = 5 और a21 = 7 हैं, अतः off-diagonal अवयव 5 और 7 हैं। निकटतम विचलन (जैसे विकल्प C या D) एक विकर्ण और एक off-diagonal मिलाकर देते हैं, इसलिए वे गलत हैं। परीक्षा टिप: पहले a11, a22 जैसे प्रमुख विकर्ण के स्थान पहचानें (i=j), बाकी सभी i≠j वाले off-diagonal होंगे। / The main diagonal entries are those with equal row and column indices (a11, a22); here they are 0 and 0. Off-diagonal entries have unequal indices (a12 and a21). In this matrix a12 = 5 and a21 = 7, so the off-diagonal elements are 5 and 7. Closest distractors (options C or D) mix a diagonal zero with an off-diagonal value, which is why they are incorrect. Exam tip: locate positions with i=j first to find the main diagonal; all other positions (i≠j) are off-diagonal.
A. संख्याओं की आयताकार व्यवस्था/A rectangular arrangement of numbers
Explanation
Simple Explanation
मैट्रिक्स संख्याओं या व्यंजकों की आयताकार व्यवस्था है। इसे पंक्तियों और स्तंभों में लिखा जाता है। / A matrix is a rectangular arrangement of numbers or expressions. It is written in rows and columns.
A. पहली पंक्ति और तीसरा स्तंभ/(1)st row and (3)rd column
Explanation
Simple Explanation
\(a_{13}\) में (1) पंक्ति को और (3) स्तंभ को बताता है। index का क्रम हमेशा पंक्ति फिर स्तंभ होता है। / In \(a_{13}\), (1) tells the row and (3) tells the column. The index order is always row then column.
