Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
SubjectsMathematics
In this Class 10 Mathematics topic, students learn how to determine whether a pair of linear equations in two variables has a solution. They compare the ratios of the coefficients and constants to identify the three possibilities: a unique solution, infinitely many solutions, or no solution. The topic connects algebraic conditions with the graphical meaning of intersecting, coincident, and parallel lines, helping students classify equation pairs accurately and understand when they are consistent or inconsistent.
Medium · Level 2 · 25 questions
TOPIC PRACTICE
Up to 25 questions from this page. Select your focus, then start.
When all three ratios are equal, both equations represent the same line. Such a pair has infinitely many solutions.तीनों अनुपात बराबर होने पर दोनों समीकरण एक ही रेखा दर्शाते हैं। ऐसे युग्म में अनंत हल होते हैं।
If the first two ratios are equal and the third differs, the lines are distinct parallel. Therefore, there is no common solution.पहले दो अनुपात बराबर और तीसरा अलग हो तो रेखाएं अलग समानांतर होती हैं। इसलिए कोई सामान्य हल नहीं होता।
For two linear equations to have infinitely many solutions, the ratios of their corresponding coefficients and constant terms must be equal. Here, p/9 = 2/6 = 6/18 = 1/3. Therefore, p/9 = 1/3, giving p = 3, so option C is correct. For example, if p = 2, the ratio of the x-coefficients would be 2/9, not 1/3; hence the equations would not have infinitely many solutions. Exam tip: For infinitely many solutions, always check the equality of all three corresponding ratios.दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने की शर्त है कि संगत गुणांकों और अचर पदों के अनुपात समान हों। यहाँ p/9 = 2/6 = 6/18 = 1/3, इसलिए p/9 = 1/3 से p = 3 प्राप्त होता है। अतः सही उत्तर विकल्प C है। उदाहरण के लिए p = 2 लेने पर x के गुणांकों का अनुपात 2/9 होगा, जो 1/3 के बराबर नहीं है; इसलिए अनंत हल नहीं होंगे। परीक्षा-युक्ति: अनंत हल के लिए तीनों अनुपातों की समानता अवश्य जाँचें।
For two linear equations to have a unique solution, the ratios of the corresponding coefficients must not be equal. Here, the determinant is \(2\times10-5\times q=20-5q\). A unique solution requires \(20-5q\ne0\), which gives \(q\ne4\). When \(q=4\), the two lines have the same slope but different constants, so they are parallel and have no solution. Exam tip: for a unique solution, check that the coefficient determinant is non-zero.दो रैखिक समीकरणों के अद्वितीय हल के लिए उनके गुणांकों का अनुपात समान नहीं होना चाहिए। यहाँ निर्धारक \(2\times10-5\times q=20-5q\) है। अद्वितीय हल के लिए \(20-5q\ne0\), अर्थात् \(q\ne4\) होना आवश्यक है। जब \(q=4\), दोनों रेखाएँ समान ढाल वाली अलग-अलग रेखाएँ बनती हैं और कोई हल नहीं मिलता। परीक्षा में अद्वितीय हल के लिए निर्धारक को शून्य से अलग अवश्य जाँचें।
The direct answer is option C, k=12. Infinitely many solutions mean both equations represent the same line, so every coefficient and constant in one equation must have the same multiplier relative to the other. The second equation is x+3y=4. Multiplying it by 4 gives 4x+12y=16, which matches the first equation when k=12. Option A, 8, would give 4x+8y=16 and is not a scalar multiple of the second equation. Option B, 10, also fails because the y coefficient would not be 12. Option C gives exact equality of all three terms and therefore infinitely many solutions. Option D, 14, likewise fails the required multiplier condition. Memory cue: compare the fixed coefficients first; since 4x matches 4 times x and 16 matches 4 times 4, the middle coefficient must be 4 times 3, namely 12.सीधा उत्तर विकल्प C, k=12 है। अनंत हल का अर्थ है कि दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं। इसलिए एक समीकरण दूसरे का समान गुणक होना चाहिए। दूसरे समीकरण x+3y=4 को 4 से गुणा करने पर 4x+12y=16 मिलता है। यह पहले समीकरण 4x+ky=16 से तभी पूरा मेल खाएगा जब k=12 हो। विकल्प A, 8, रखने पर 4x+8y=16 मिलेगा, जो दूसरे समीकरण का 4 गुना नहीं है। विकल्प B, 10, में भी y का गुणांक 12 नहीं बनता। विकल्प C में तीनों पद ठीक-ठीक मिलते हैं, इसलिए अनंत हल हैं। विकल्प D, 14, भी समान गुणक की शर्त पूरी नहीं करता। याद रखें: 4x और 16 देखकर गुणक 4 है; इसलिए बीच का गुणांक 4×3=12 होना चाहिए।
Two linear equations have no solution when \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\). Here, \(\frac{6}{2}=3\) must equal \(\frac{a}{5}\), so \(\frac{a}{5}=3\) and hence \(a=15\). Also, \(\frac{30}{11}\ne3\), confirming that the two lines are distinct and parallel. Therefore, 15 is correct. Exam tip: equate the ratios of the coefficients first, then verify that the ratio of constants is different.दो रैखिक समीकरणों का कोई हल नहीं होता, जब
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\)। यहाँ \(\frac{6}{2}=3\) और \(\frac{a}{5}\) बराबर होने चाहिए, इसलिए \(\frac{a}{5}=3\), अर्थात \(a=15\)। साथ ही \(\frac{30}{11}\ne3\), इसलिए दोनों समीकरण वास्तव में समानांतर और असंगत हैं। अतः सही उत्तर 15 है। परीक्षा-युक्ति: पहले गुणांकों के अनुपात बराबर करें और फिर नियतांकों का अनुपात अलग होने की जाँच करें।
For the two equations, \(a_1/a_2=8/2=4\) and \(b_1/b_2=12/3=4\), whereas \(c_1/c_2=20/6=10/3\). Thus, \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), so the lines are distinct and parallel; they neither intersect nor coincide. Exam tip: compare the three coefficient ratios—if the first two are equal but the third is different, the lines are distinct parallel lines.दोनों समीकरणों के लिए
\(a_1/a_2=8/2=4\) और \(b_1/b_2=12/3=4\), जबकि \(c_1/c_2=20/6=10/3\) है। अतः \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), इसलिए रेखाएं समानांतर और अलग-अलग होंगी; वे एक-दूसरे को नहीं काटेंगी और संपाती भी नहीं होंगी। परीक्षा में यह पहचानने के लिए अनुपातों की तुलना करें: पहले दो बराबर और तीसरा अलग हो तो रेखाएं अलग समानांतर होती हैं।
Dividing every term of \(9x+6y=15\) by 3 gives \(3x+2y=5\). Hence, both equations represent the same line and have infinitely many common solutions. Option B is incorrect because distinct parallel lines require the coefficients of \(x\) and \(y\) to be proportional but the constants not to be proportional. Exam tip: if \(a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2\), the two lines are coincident, or the same line.पहले समीकरण के सभी पदों को 3 से भाग देने पर \(9x+6y=15\) से \(3x+2y=5\) प्राप्त होता है। इसलिए दोनों समीकरण वास्तव में एक ही रेखा को दर्शाते हैं और इनके अनंत अनेक समान हल होते हैं। विकल्प B गलत है, क्योंकि समानांतर अलग-अलग रेखाओं के लिए बाईं ओर के गुणांक समानुपाती होने चाहिए, लेकिन नियतांकों का अनुपात अलग होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: यदि \(a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2\), तो रेखाएँ संपाती अर्थात एक ही रेखा होती हैं।
The slope of a non-vertical line describes its steepness, and the y-intercept tells where it crosses the y-axis. If two lines have the same slope, they are parallel or identical. If their y-intercepts are also the same, they pass through the same point on the y-axis and have the same direction. Consequently, they are not merely parallel; they coincide completely.
Coincident lines have every point in common. Therefore the pair has infinitely many solutions and is called consistent and dependent. Option C is correct. An inconsistent pair has no common point, as with distinct parallel lines. A consistent independent pair has one common point, which does not apply here.किसी गैर-ऊर्ध्वाधर रेखा की ढाल उसकी दिशा या झुकाव बताती है, जबकि y-अवरोध बताता है कि वह y-अक्ष को कहां काटती है। यदि दो रेखाओं की ढाल समान हो, तो वे समानांतर या एक ही रेखा हो सकती हैं। जब उनके y-अवरोध भी समान हों, तो दोनों एक ही बिंदु से गुजरती हैं और उनकी दिशा भी समान होती है। इसलिए वे पूरी तरह एक-दूसरे पर स्थित होती हैं।
एक ही रेखा के सभी बिंदु साझा होते हैं, इसलिए ऐसे युग्म के अनंत हल होते हैं और इसे संगत एवं आश्रित कहा जाता है। अतः विकल्प C सही है। असंगत युग्म का कोई साझा बिंदु नहीं होता, जबकि संगत स्वतंत्र युग्म का केवल एक साझा बिंदु होता है।
For a line written as y = mx + c, m is its slope and c is its y-intercept. If two lines have the same slope, they have the same direction. Different y-intercepts mean that they cross the y-axis at different points, so they are not the same line. Consequently, they are distinct parallel lines and cannot meet at any common point. The associated pair of linear equations therefore has no solution, making option B correct. A unique solution requires different slopes and an intersection. Infinitely many solutions occur only when both slope and intercept are equal, because then the two equations describe the same line. Thus option C and option D are not separate valid conclusions here; coincident lines require equal intercepts as well.रेखा y = mx + c में m ढाल और c, y-अवरोध को दर्शाता है। यदि दो रेखाओं की ढाल समान है, तो उनकी दिशा समान होगी। लेकिन y-अवरोध अलग होने का अर्थ है कि वे y-अक्ष को अलग-अलग बिंदुओं पर काटती हैं; इसलिए वे एक ही रेखा नहीं हैं। ऐसी रेखाएँ अलग समानांतर रेखाएँ होती हैं और किसी साझा बिंदु पर नहीं मिलतीं। अतः उनसे बने रैखिक समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं होगा और विकल्प B सही है। अद्वितीय हल के लिए ढाल अलग होनी चाहिए। अनंत हल तभी मिलते हैं जब ढाल और y-अवरोध दोनों समान हों, क्योंकि तब रेखाएँ संपाती होती हैं। इसलिए विकल्प C और D इस स्थिति में सही नहीं हैं।
When two lines have different slopes, they cannot be parallel or coincident. Hence, they intersect at exactly one point, giving the pair of linear equations one unique solution. Therefore, option C is correct. Option A represents parallel lines, while option B represents coincident lines. Exam tip: different slopes always indicate a unique solution.दो रेखाओं की ढाल अलग-अलग होने पर वे समानांतर या संपाती नहीं हो सकतीं। इसलिए वे एक और केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, जिससे रैखिक समीकरणों के युग्म का एक अद्वितीय हल प्राप्त होता है। अतः विकल्प C सही है। विकल्प A समानांतर रेखाओं और विकल्प B संपाती रेखाओं की स्थिति को दर्शाते हैं। परीक्षा-युक्ति: अलग ढाल का अर्थ हमेशा एक अद्वितीय हल होता है।
For the first equation, a₁=2, b₁=3 and c₁=-11; for the second, a₂=6, b₂=9 and c₂=-33. Thus, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\), \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\), and \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{-11}{-33}=\frac{1}{3}\). Therefore, option C gives the correct relation. The second equation is three times the first, so the two lines are coincident and the pair has infinitely many solutions. Exam tip: Equal values of all three ratios indicate infinitely many solutions.पहले समीकरण में a₁=2, b₁=3 और c₁=-11 हैं, जबकि दूसरे में a₂=6, b₂=9 और c₂=-33 हैं। इसलिए \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\), \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\) और \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{-11}{-33}=\frac{1}{3}\)। अतः सही संबंध विकल्प C है। दूसरा समीकरण पहले समीकरण का 3 गुना है, इसलिए दोनों रेखाएँ संपाती हैं और अनंत हल प्राप्त होते हैं। परीक्षा-युक्ति: यदि तीनों अनुपात बराबर हों, तो युग्म के अनंत हल होते हैं।
For two equations a₁x + b₁y + c₁ = 0 and a₂x + b₂y + c₂ = 0, the relation a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ indicates distinct parallel lines and no solution. Here, 4/8 = 1/2. Also, (−5)/(−10) = 1/2, so the first two ratios are equal. However, 7/9 is not equal to 1/2, so the constant-term ratio is different. Therefore the correct relation is 4/8 = (−5)/(−10) ≠ 7/9, which is option A. The equal first two ratios show equal direction or equal slope, while the unequal constant ratio shows that the lines are distinct rather than coincident. Option C would represent coincident lines and infinitely many solutions.दो समीकरणों a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0 में यदि a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ हो, तो रेखाएँ अलग समानांतर होती हैं और कोई हल नहीं होता। यहाँ 4/8 = 1/2 है। इसी प्रकार (−5)/(−10) = 1/2 है, इसलिए पहले दो अनुपात बराबर हैं। लेकिन 7/9 का मान 1/2 नहीं है, इसलिए स्थिर पदों का अनुपात अलग है। अतः सही संबंध 4/8 = (−5)/(−10) ≠ 7/9 है और विकल्प A सही है। पहले दो बराबर अनुपात रेखाओं की समान दिशा या समान ढाल बताते हैं, जबकि अलग स्थिर अनुपात बताता है कि रेखाएँ एक-दूसरे पर संपाती नहीं हैं। विकल्प C संपाती रेखाओं और अनंत हलों की स्थिति दर्शाता है।
Here (5/10 \ne 6/9), so the lines intersect at one point. In this case, the third ratio need not be checked.यहां (5/10 \ne 6/9), इसलिए रेखाएं एक बिंदु पर कटती हैं। इस स्थिति में तीसरा अनुपात देखने की जरूरत नहीं होती।
For two linear equations to have no solution, the ratios of the coefficients of both variables must be equal, while the ratio of the constant terms must be different. Thus, \(\frac{a}{6}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\), which gives \(a=3\). Also, \(\frac{10}{25}=\frac{2}{5}\), which is not equal to \(\frac{1}{2}\); therefore, the two lines are parallel and inconsistent. Exam tip: For ‘no solution,’ first check that the variable-coefficient ratios are equal and then verify that the constant-term ratio is different.दो रैखिक समीकरणों का कोई हल नहीं होने के लिए x और y के गुणांकों का अनुपात समान, लेकिन अचर पदों का अनुपात अलग होना चाहिए। इसलिए \(\frac{a}{6}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\), जिससे \(a=3\) प्राप्त होता है। साथ ही \(\frac{10}{25}=\frac{2}{5}\), जो \(\frac{1}{2}\) के बराबर नहीं है; अतः दोनों रेखाएँ समानांतर और असंगत हैं। परीक्षा-युक्ति: ‘कोई हल नहीं’ के लिए पहले दोनों चर के गुणांकों के अनुपात की समानता जाँचें, फिर अचर पदों का अनुपात अलग होना सुनिश्चित करें।
For two linear equations to have infinitely many solutions, the condition is \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\). Here, \(\frac{3}{9}=\frac{15}{45}=\frac{1}{3}\). Therefore, \(\frac{b}{12}=\frac{1}{3}\), which gives \(b=4\). Hence, option C is correct. Exam tip: For infinitely many solutions, check that all three corresponding coefficient and constant ratios are equal.दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने की शर्त है: \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)। यहाँ \(\frac{3}{9}=\frac{15}{45}=\frac{1}{3}\) है। इसलिए \(\frac{b}{12}=\frac{1}{3}\), जिससे \(b=4\) प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प C है। परीक्षा-युक्ति: अनंत हल के प्रश्नों में तीनों अनुपातों की समानता जाँचें।
A pair of linear equations has a unique solution when \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\). Here, \(\frac{8}{2}=4\) and \(\frac{p}{3}\), so the condition is \(4\ne\frac{p}{3}\), which gives \(p\ne12\). Therefore, option B is correct. Notice that when \(p=12\), the coefficient ratios become equal, but the constant ratio \(\frac{24}{7}\) is different; hence the equations have no solution rather than a unique solution. Exam tip: compare the ratios of the coefficients first to test for a unique solution.दो रैखिक समीकरणों के अद्वितीय हल के लिए
\(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\) होना चाहिए। यहाँ \(\frac{8}{2}=4\) और \(\frac{p}{3}\) हैं, इसलिए \(4\ne\frac{p}{3}\), अर्थात् \(p\ne12\)। अतः विकल्प B सही है। ध्यान रखें कि \(p=12\) पर गुणांकों के अनुपात समान हो जाते हैं, जबकि नियतांकों के अनुपात \(\frac{24}{7}\) अलग हैं; इसलिए उस स्थिति में कोई हल नहीं होगा, अद्वितीय हल नहीं। परीक्षा-युक्ति: पहले गुणांकों के अनुपात की तुलना करके अद्वितीय हल की शर्त जाँचें।
For infinitely many solutions, both linear equations must represent the same line. The coefficients on the left side of the second equation are twice those in the first equation: 10 = 2×5 and 4 = 2×2. Therefore, the constant on the right side must also be doubled, so n = 2×16 = 32. Hence, option D is correct. Exam tip: For infinitely many solutions, the ratios of the corresponding coefficients and constants must be equal.अनंत हलों के लिए दोनों रैखिक समीकरण एक ही रेखा को दर्शाने चाहिए। यहाँ दूसरे समीकरण के बाईं ओर के गुणांक पहले समीकरण के गुणांकों के दोगुने हैं: 10 = 2×5 और 4 = 2×2। इसलिए दाईं ओर का स्थिरांक भी 16 का दोगुना होना चाहिए, अर्थात् n = 2×16 = 32। अतः सही विकल्प D है। परीक्षा-टिप: अनंत हलों की स्थिति में दोनों समीकरणों के सभी संगत गुणांकों का अनुपात समान होना चाहिए।
For two linear equations a₁x + b₁y + c₁ = 0 and a₂x + b₂y + c₂ = 0, the pair is inconsistent when a₁/a₂ = b₁/b₂ but c₁/c₂ is different. Here, compare 6x − 2y = 18 with 3x − y = t. The x-coefficient ratio is 6/3 = 2, and the y-coefficient ratio is (−2)/(−1) = 2. Therefore, the equations have the same direction. For them to be inconsistent, they must represent distinct parallel lines, so 18/t must not equal 2. Equality would give t = 9, making the second equation exactly half of the first and producing infinitely many solutions. Hence t ≠ 9, so option B is correct.दो रैखिक समीकरणों के असंगत होने की शर्त है कि x और y के गुणांकों के अनुपात समान हों, लेकिन अचर पदों का अनुपात उनसे अलग हो। यहाँ 6x − 2y = 18 और 3x − y = t के लिए 6/3 = 2 तथा (−2)/(−1) = 2 है। इसलिए दोनों रेखाओं की दिशा समान है। अब यदि 18/t भी 2 के बराबर हो, तो t = 9 मिलेगा और दूसरा समीकरण पहले का आधा बन जाएगा। ऐसी स्थिति में दोनों समीकरण एक ही रेखा दर्शाएँगे और अनंत हल होंगे, असंगति नहीं। अतः असंगति के लिए 18/t ≠ 2, अर्थात t ≠ 9 आवश्यक है। इसलिए विकल्प B सही है। अन्य विकल्प सामान्य शर्त व्यक्त नहीं करते।
Every term of the second equation is three times the corresponding term of the first: (9,6,24)=3(3,2,8) . Hence both equations represent the same line, so they have infinitely many common points and infinitely many solutions. Therefore, option C is correct. For exams, check the ratios: if a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2 , the pair has infinitely many solutions.दूसरे समीकरण के सभी पद पहले समीकरण के 3 गुना हैं: (9,6,24)=3(3,2,8) । इसलिए दोनों समीकरण वास्तव में एक ही रेखा को प्रदर्शित करते हैं, अर्थात् रेखाएँ संपाती हैं और उनके अनंत बिंदु उभयनिष्ठ होते हैं। अतः निकाय के अनंत हल हैं। परीक्षा में अनुपात जाँचें: यदि a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2 हो, तो अनंत हल होते हैं।
Here, \(a_1/a_2=4/1=4\) and \(b_1/b_2=8/2=4\), but \(c_1/c_2=12/5\). Thus, \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), which is the condition for an inconsistent pair of linear equations. In fact, the first equation simplifies to \(x+2y=3\), while the second is \(x+2y=5\); therefore, the lines are parallel and there is no solution. Exam tip: In the ratio test, always compare the constant-term ratio as well.यहाँ
\(a_1/a_2=4/1=4\) और \(b_1/b_2=8/2=4\), लेकिन \(c_1/c_2=12/5\) है। इसलिए \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), जो असंगत समीकरणों की शर्त है। वास्तव में, पहला समीकरण \(x+2y=3\) के बराबर है, जबकि दूसरा \(x+2y=5\) है; अतः रेखाएँ समानांतर हैं और कोई हल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: इस अनुपात-शर्त में स्थिर पदों का अनुपात भी अवश्य जाँचें।
For equations written as \\(a_1x+b_1y+c_1=0\\) and \\(a_2x+b_2y+c_2=0\\), unequal ratios \\(a_1/a_2\\) and \\(b_1/b_2\\) mean that the two lines have different slopes. Lines with different slopes meet at exactly one point, so the pair has a unique solution. Equality of the first two ratios is not required here.
In this pair, \\(7/2=3.5\\), while \\(3/1=3\\). Hence \\(7/2\\ne3/1\\). The lines therefore have different directions and intersect once. The constant ratio is not needed to establish uniqueness after the first two ratios are found unequal. Thus option C correctly states that there is one unique solution.यदि दो समीकरणों में x के गुणांकों का अनुपात और y के गुणांकों का अनुपात अलग-अलग हों, तो दोनों रेखाओं की ढाल अलग होती है। अलग ढाल वाली दो रेखाएँ एक ही बिंदु पर मिलती हैं। इसलिए समीकरणों के युग्म का एक अद्वितीय हल होता है। इस स्थिति में नियतांकों के अनुपात की तुलना करने की आवश्यकता नहीं रहती।
यहाँ \\(7/2=3.5\\), जबकि \\(3/1=3\\) है। इसलिए \\(7/2\\ne3/1\\)। इसका अर्थ है कि दोनों रेखाओं की दिशाएँ अलग हैं और वे एक बिंदु पर कटेंगी। अतः युग्म का एक ही हल है। विकल्प C इसी निष्कर्ष को बताता है। अनंत हल के लिए पहले दो अनुपात समान होने चाहिए, जो यहाँ नहीं हैं।
For the two equations, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{10}{2}=5\) and \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{15}{3}=5\), but \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{25}{8}\). Since \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\), the two lines are distinct and parallel. Hence, the pair is inconsistent and has no solution. Option B would be correct only if all three ratios were equal. Exam tip: Compare all three coefficient ratios in such questions.दोनों समीकरणों में
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{10}{2}=5\) और \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{15}{3}=5\), लेकिन \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{25}{8}\) है। चूँकि \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\), दोनों रेखाएँ समानांतर और भिन्न हैं। इसलिए युग्म असंगत है और इसका कोई हल नहीं है। विकल्प B तभी सही होता जब तीनों अनुपात समान होते। परीक्षा-युक्ति: इस प्रकार के प्रश्नों में तीनों अनुपातों की तुलना करें।
For the given equations, \\(a_1/a_2=11/5\\) and \\(b_1/b_2=4/2=2\\). Since \\(11/5 \ne 2\\), the two lines intersect at one point and the pair has a unique solution. Therefore, it is a consistent and independent pair. For a consistent dependent pair, all three ratios are equal. Exam tip: Compare \\(a_1/a_2\\) and \\(b_1/b_2\\) first; if they are unequal, there is exactly one solution.दिए गए समीकरणों में \\(a_1/a_2=11/5\\) और \\(b_1/b_2=4/2=2\\) हैं। क्योंकि \\(11/5 \ne 2\\), दोनों रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगी और युग्म का एक अद्वितीय हल होगा। इसलिए यह संगत और स्वतंत्र युग्म है। संगत और आश्रित युग्म में तीनों अनुपात बराबर होते हैं। परीक्षा टिप: पहले \\(a_1/a_2\\) और \\(b_1/b_2\\) की तुलना करें; वे असमान हों तो एक ही हल होता है।
The second equation is (2) times the first. Therefore, both conditions give the same information and have infinitely many solutions.दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है। इसलिए दोनों शर्तें एक ही जानकारी देती हैं और अनंत हल होते हैं।
