Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
SubjectsMathematics
In this Class 10 Mathematics topic, students learn how to determine whether a pair of linear equations in two variables has a solution. They compare the ratios of the coefficients and constants to identify the three possibilities: a unique solution, infinitely many solutions, or no solution. The topic connects algebraic conditions with the graphical meaning of intersecting, coincident, and parallel lines, helping students classify equation pairs accurately and understand when they are consistent or inconsistent.
Easy · Level 5 · 25 questions
TOPIC PRACTICE
Up to 25 questions from this page. Select your focus, then start.
Here (4/8=3/6) but (10/21) is different so there is no solution. Equal first two ratios and a different third ratio mean parallel lines.यहां (4/8=3/6) लेकिन (10/21) अलग है इसलिए कोई हल नहीं। पहले दो अनुपात बराबर और तीसरा अलग हो तो रेखाएं समानांतर होती हैं।
The direct answer is option D: one unique solution. Compare the coefficients of the equations \(x+5y=12\) and \(3x+14y=31\). We have \(a_1/a_2=1/3\) and \(b_1/b_2=5/14\). These are unequal, so the lines have different slopes and intersect at exactly one point. Option A, no solution, would require distinct parallel lines, represented by equal coefficient ratios but a different constant ratio. Option B, infinitely many solutions, and option C, coincident lines, describe the same situation: both equations represent one line, so all three ratios would be equal. They are not equal here. For an additional check, multiply the first equation by 3: \(3x+15y=36\). Comparing it with \(3x+14y=31\) shows the equations are not identical; subtracting gives \(y=5\), then \(x=-13\), confirming one solution. Thus D is correct.सीधा उत्तर विकल्प D है: एक अद्वितीय हल। समीकरण \(x+5y=12\) और \(3x+14y=31\) के गुणांकों की तुलना करें। \(a_1/a_2=1/3\) और \(b_1/b_2=5/14\) हैं। ये बराबर नहीं हैं, इसलिए रेखाओं की ढाल अलग है और वे ठीक एक बिंदु पर कटती हैं। विकल्प A, कोई हल नहीं, अलग समानांतर रेखाओं की स्थिति बताता है; उसके लिए गुणांक अनुपात बराबर और स्थिर पद का अनुपात अलग होना चाहिए। विकल्प B, अनंत हल, तथा विकल्प C, संपाती रेखाएँ, एक ही स्थिति बताते हैं: दोनों समीकरण एक ही रेखा होते और तीनों अनुपात बराबर होते। यहाँ ऐसा नहीं है। जाँच के लिए पहले समीकरण को 3 से गुणा करें: \(3x+15y=36\)। इसे दूसरे \(3x+14y=31\) से घटाने पर \(y=5\), और पहले में रखने पर \(x=-13\) मिलता है। अतः एक ही हल है और D सही है।
For a pair of linear equations, if \(a_1/a_2 \ne b_1/b_2\), the two lines have different slopes. Hence, they intersect at exactly one point, and the pair has a unique solution. Parallel lines require \(a_1/a_2 = b_1/b_2 \ne c_1/c_2\). Exam tip: compare the coefficient ratios first to determine the position of the lines and the number of solutions.दो रैखिक समीकरणों में यदि \(a_1/a_2 \ne b_1/b_2\) हो, तो दोनों रेखाओं के ढाल अलग होते हैं। इसलिए वे एक-दूसरे को केवल एक बिंदु पर काटती हैं और युग्म का एकमात्र हल होता है। समानांतर रेखाओं के लिए \(a_1/a_2 = b_1/b_2 \ne c_1/c_2\) होना चाहिए। परीक्षा में अनुपातों की तुलना करके पहले रेखाओं की स्थिति और फिर हलों की संख्या निर्धारित करें।
For a pair of linear equations, if \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), the two lines have the same slope but different y-intercepts. Hence, they are distinct parallel lines and never intersect, so the pair has no solution. Exam tip: remember that the pattern \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\) represents distinct parallel lines and an inconsistent pair.दो रैखिक समीकरणों के लिए यदि \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\) हो, तो दोनों रेखाओं की ढाल समान होती है, लेकिन उनका y-अवरोध अलग होता है। इसलिए रेखाएँ अलग-अलग समानांतर होती हैं और कभी प्रतिच्छेद नहीं करतीं; अतः इस युग्म का कोई हल नहीं है। परीक्षा टिप: समानांतर और अलग रेखाओं की स्थिति में अनुपातों का पैटर्न \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\) याद रखें।
The direct answer is option C: the same line, or coincident lines. Write the equations in the standard form \(a_1x+b_1y+c_1=0\) and \(a_2x+b_2y+c_2=0\). If \(a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2\), every corresponding coefficient is in the same proportion. One equation is therefore just a nonzero multiple of the other. Multiplying an equation does not change its set of solutions, so both equations represent exactly the same line. Every point on that line satisfies both equations; hence there are infinitely many common solutions. Option A, two intersecting lines, occurs when the first two coefficient ratios are unequal. Option B, distinct parallel lines, occurs when the first two ratios are equal but the constant ratio is different. Option D, no line, is not the result of a normal pair of linear equations with valid coefficients; each equation represents a line. Thus C is correct. Memory cue: all three ratios equal means same line and infinitely many solutions.सीधा उत्तर विकल्प C है: एक ही रेखा, अर्थात संपाती रेखाएँ। समीकरणों को सामान्य रूप \(a_1x+b_1y+c_1=0\) और \(a_2x+b_2y+c_2=0\) में देखें। यदि \(a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2\), तो दोनों समीकरणों के सभी संगत गुणांक एक ही अनुपात में हैं। इसका अर्थ है कि एक समीकरण दूसरे का किसी शून्येतर संख्या से गुणा किया हुआ रूप है। किसी समीकरण को ऐसी संख्या से गुणा करने पर उसके हल नहीं बदलते, इसलिए दोनों समीकरण ठीक एक ही रेखा दर्शाते हैं। उस रेखा का प्रत्येक बिंदु दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है; इसलिए अनंत सामान्य हल होते हैं। विकल्प A, कटती रेखाएँ, तब होता है जब पहले दो अनुपात अलग हों। विकल्प B, अलग समानांतर रेखाएँ, तब होता है जब पहले दो अनुपात बराबर पर स्थिर पद का अनुपात अलग हो। विकल्प D, कोई रेखा नहीं, सामान्य वैध रैखिक समीकरणों के लिए उचित निष्कर्ष नहीं है। याद रखें: तीनों अनुपात बराबर—एक ही रेखा और अनंत हल।
Compare the two equations directly. Multiplying every term of 5x-y=9 by 2 gives 10x-2y=18, which is exactly the second equation. Thus both equations represent the same straight line rather than two different lines. Every point on this common line satisfies both equations, so there are infinitely many common solutions. Such a pair is called consistent and dependent: it is consistent because solutions exist, and dependent because one equation is a scalar multiple of the other. Option A would require one intersection, option B would indicate parallel distinct lines, and option D is not the relevant classification.दोनों समीकरणों की तुलना करें। पहले समीकरण 5x-y=9 के प्रत्येक पद को 2 से गुणा करने पर 10x-2y=18 प्राप्त होता है, जो ठीक दूसरा समीकरण है। इसलिए दोनों समीकरण अलग रेखाओं को नहीं, बल्कि एक ही रेखा को दर्शाते हैं। इस समान रेखा के प्रत्येक बिंदु के निर्देशांक दोनों समीकरणों को संतुष्ट करते हैं; अत: सामान्य हलों की संख्या अनंत है। ऐसे युग्म को संगत और आश्रित कहते हैं। यह संगत है क्योंकि इसके हल मौजूद हैं और आश्रित है क्योंकि एक समीकरण दूसरे का गुणज है। एक अद्वितीय हल स्वतंत्र रेखाओं के लिए तथा कोई हल असंगत समानांतर रेखाओं के लिए होता है।
Dividing the first equation by 2 gives 3x+y=4, whereas the second equation is 3x+y=5. The ratios of the coefficients of x and y are equal, \(6/3=2/1\), but the ratio of the constant terms is different, \(8/5\ne 2\). Thus, the two lines are parallel and distinct, so the pair has no solution. Infinitely many solutions would require both equations to represent the same line. Exam tip: if \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), the pair has no solution.पहले समीकरण को 2 से भाग देने पर यह 3x+y=4 बनता है, जबकि दूसरा समीकरण 3x+y=5 है। दोनों रेखाओं के x और y के गुणांकों का अनुपात समान है, लेकिन अचर पद अलग हैं: \(6/3=2/1\), जबकि \(8/5\) समान नहीं है। इसलिए रेखाएँ समांतर और अलग-अलग हैं, अतः कोई हल नहीं है। अनंत हल के लिए दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाने चाहिए। परीक्षा-युक्ति: यदि \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), तो युग्म का कोई हल नहीं होता।
The ratios of the coefficients of x and y are 2/5 and 7/9, respectively. Since 2/5 ≠ 7/9, the two lines intersect at exactly one point, giving one unique solution. Therefore, option A is correct. Exam tip: For a pair of linear equations, if a₁/a₂ ≠ b₁/b₂, the pair has a unique solution; hence it has neither no solution nor infinitely many solutions.दोनों समीकरणों में x और y के गुणांकों का अनुपात क्रमशः 2/5 और 7/9 है। चूँकि 2/5 ≠ 7/9, इसलिए रेखाएँ एक-दूसरे को एक बिंदु पर काटेंगी और केवल एक अद्वितीय हल होगा। अतः विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: यदि a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ हो, तो युग्म का एक अद्वितीय हल होता है; इसलिए इसे अनंत हल या कोई हल नहीं कहना गलत होगा।
Distinct parallel lines never intersect, so they have no common point and no common solution. Therefore, the pair is called inconsistent. In contrast, coincident lines have infinitely many solutions. Exam tip: intersecting lines indicate one solution, coincident lines indicate infinitely many solutions, and distinct parallel lines indicate no solution.अलग-अलग समानांतर रेखाएं कभी एक-दूसरे को नहीं काटतीं, इसलिए उनका कोई उभयनिष्ठ हल या सामान्य बिंदु नहीं होता। ऐसे रैखिक समीकरणों के युग्म को असंगत कहते हैं। इसके विपरीत, संपाती रेखाओं के अनंत हल होते हैं। परीक्षा-सुझाव: प्रतिच्छेदी रेखाएं एक हल, संपाती रेखाएं अनंत हल और अलग समानांतर रेखाएं कोई हल नहीं दर्शाती हैं।
In the graphical method, a solution of a pair of linear equations is represented by a common point of the two graphs. If the two lines intersect at exactly one point, only the coordinates of that point satisfy both equations simultaneously. Therefore the pair has exactly one solution, called a unique solution. In standard terminology, the pair is consistent and independent. No solution occurs when distinct lines are parallel, while infinitely many solutions occur when the two equations represent the same coincident line. “Inconsistent” is another name for the no-solution case, so it cannot describe a pair that intersects once. Hence option B is correct.ग्राफीय विधि में दो रैखिक समीकरणों का सामान्य हल उस बिंदु से दर्शाया जाता है जहां उनकी रेखाएं मिलती हैं। यदि दोनों रेखाएं केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो उस बिंदु के निर्देशांक ही दोनों समीकरणों को एक साथ संतुष्ट करते हैं। इसलिए युग्म का ठीक एक हल होता है, जिसे अद्वितीय हल कहते हैं। ऐसे युग्म को संगत और स्वतंत्र भी कहा जाता है। अलग समानांतर रेखाओं में कोई सामान्य बिंदु नहीं होता, इसलिए कोई हल नहीं मिलता; जबकि संपाती रेखाओं के प्रत्येक बिंदु पर समानता होती है, इसलिए अनंत हल मिलते हैं। असंगत शब्द भी कोई हल न होने वाले युग्म के लिए प्रयुक्त होता है, अत: विकल्प B सही है।
The direct answer is D: infinitely many solutions. A pair of linear equations represents two lines. If both equations give exactly the same line, every point on that line satisfies the first equation and also the second equation. Since a line contains infinitely many points, the pair has infinitely many ordered-pair solutions. Option A, one solution, is wrong because one solution occurs when two different lines meet at exactly one point. Option B, no solution, is wrong because parallel distinct lines never meet. Option C, three solutions, is wrong because two linear equations cannot have exactly three intersection points. Option D is correct because coincident lines share all their points. Memory cue: same line means infinitely many; parallel different lines mean none; intersecting lines mean one.सीधा उत्तर D है: अनंत हल। दो रैखिक समीकरणों को ग्राफ पर दो रेखाओं के रूप में दिखाया जाता है। यदि दोनों समीकरण बिल्कुल एक ही रेखा देते हैं, तो उस रेखा का हर बिंदु पहले और दूसरे दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है। रेखा पर अनंत बिंदु होते हैं, इसलिए हलों के अनंत क्रमित युग्म मिलते हैं। विकल्प A, एक हल, गलत है क्योंकि एक हल तब मिलता है जब दो अलग रेखाएं केवल एक बिंदु पर काटती हैं। विकल्प B, कोई हल नहीं, गलत है क्योंकि अलग समानांतर रेखाएं कभी नहीं मिलतीं। विकल्प C, तीन हल, गलत है क्योंकि दो रैखिक रेखाओं के ठीक तीन कटान-बिंदु नहीं हो सकते। विकल्प D सही है क्योंकि एक ही रेखा के सभी बिंदु साझा होते हैं। याद रखें: एक ही रेखा यानी अनंत हल; अलग समानांतर रेखाएं यानी कोई हल नहीं; काटती रेखाएं यानी एक हल।
Multiply the first equation, 7x+4y=20, by 2. The result is 14x+8y=40, exactly the second equation. Hence both equations have the same set of solutions and their graphs are coincident, not merely parallel. Every point on this common line satisfies both equations, so the pair has infinitely many solutions. In the ratio test, a₁/a₂=7/14=1/2, b₁/b₂=4/8=1/2, and c₁/c₂=20/40=1/2; equality of all three ratios confirms a consistent and dependent pair. Therefore option C is correct; a unique solution would require unequal coefficient ratios.पहले समीकरण 7x+4y=20 को 2 से गुणा करने पर 14x+8y=40 प्राप्त होता है, जो दूसरा समीकरण ही है। इसलिए दोनों समीकरणों के हलों का समुच्चय समान है और उनके ग्राफ एक ही, अर्थात संपाती, रेखा को दर्शाते हैं। इस समान रेखा के प्रत्येक बिंदु पर दोनों समीकरण सत्य होते हैं; इसलिए सामान्य हलों की संख्या अनंत होती है। अनुपातों से भी जांच करें: a₁/a₂=7/14=1/2, b₁/b₂=4/8=1/2 और c₁/c₂=20/40=1/2। तीनों अनुपात बराबर होने से युग्म संगत और आश्रित सिद्ध होता है। अत: विकल्प C सही है; एक अद्वितीय हल के लिए पहली दो अनुपातों का बराबर न होना आवश्यक होता।
Rewrite \(8x+12y=24\) by dividing by \(4\): \(2x+3y=6\). But the second equation is \(2x+3y=7\). The same left side cannot be equal to two different numbers, so the system has no solution.\(8x+12y=24\) को \(4\) से भाग देकर लिखें: \(2x+3y=6\)। लेकिन दूसरा समीकरण \(2x+3y=7\) है। एक ही बाएँ पक्ष का मान दो अलग-अलग संख्याओं के बराबर नहीं हो सकता, इसलिए प्रणाली का कोई हल नहीं है।
For the two linear equations, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{9}{4}\) and \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{5}{2}\). Since \(\frac{9}{4}\ne\frac{5}{2}\), the two lines intersect at exactly one point, so the pair has a unique solution. Therefore, option A is correct. Exam tip: when \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\), a pair of linear equations always has a unique solution.दो रैखिक समीकरणों के लिए
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{9}{4}\) और \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{5}{2}\) हैं। चूँकि \(\frac{9}{4}\ne\frac{5}{2}\), दोनों रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं और इसलिए निकाय का एक अद्वितीय हल होता है। अतः विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: यदि \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\), तो हमेशा एक अद्वितीय हल होता है।
A consistent and independent pair has one unique solution. For this the ratios of (a) and (b) must be different.संगत और स्वतंत्र युग्म में एक अद्वितीय हल होता है। इसके लिए (a) और (b) के अनुपात अलग होने चाहिए।
For the pair a₁x+b₁y+c₁=0 and a₂x+b₂y+c₂=0, the condition a₁/a₂=b₁/b₂=c₁/c₂ means that every coefficient, including the constant term, is in the same proportion. Consequently, one equation is a non-zero scalar multiple of the other, so both equations represent the same line. The two lines have infinitely many common points, making the pair consistent; because the equations describe the same line and one depends on the other, it is dependent. If only the first two ratios are equal but the constant ratio differs, the lines are distinct parallel and inconsistent. Unequal first two ratios give one intersection. Thus A is correct.युग्म a₁x+b₁y+c₁=0 तथा a₂x+b₂y+c₂=0 के लिए यदि a₁/a₂=b₁/b₂=c₁/c₂ हो, तो दोनों समीकरणों के सभी संगत गुणांक और अचर एक ही अनुपात में होते हैं। इसका अर्थ है कि एक समीकरण दूसरे का कोई अशून्य अचर गुणज है। इसलिए दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं और उस रेखा के प्रत्येक बिंदु पर दोनों सत्य होते हैं। इस कारण सामान्य हल अनंत होते हैं; युग्म संगत और आश्रित कहलाता है। केवल पहले दो अनुपात बराबर तथा तीसरा अलग हो तो रेखाएं अलग समानांतर और युग्म असंगत होता है। पहले दो अनुपात अलग हों तो एक प्रतिच्छेद-बिंदु मिलता है। अत: विकल्प A सही है।
Here, \(\frac{1}{2}=\frac{-3}{-6}\), but \(\frac{4}{9}\) is different. Thus, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\), so the two lines are parallel and distinct and have no common point. Therefore, the pair has no solution. Exam tip: When \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\), a pair of linear equations has no solution.यहाँ
\(\frac{1}{2}=\frac{-3}{-6}\), लेकिन \(\frac{4}{9}\) अलग है। अतः \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\), इसलिए दोनों रेखाएँ समानांतर और अलग-अलग हैं तथा उनका कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है। इस कारण युग्म का कोई हल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: यदि \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\), तो रैखिक समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं होता।
The second equation is 4 times the first: \\(12x-8y=24=4(3x-2y=6)\\). Hence both equations represent the same line, so the pair has infinitely many solutions. Using the coefficient test, \\(a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2=1/4\\). Therefore, the lines are coincident, not distinct parallel lines. Exam tip: when all three corresponding ratios are equal, the pair has infinitely many solutions.दूसरा समीकरण पहले समीकरण का 4 गुना है: \\(12x-8y=24=4(3x-2y=6)\\)। अतः दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं और उनके अनंत हल हैं। अनुपात जाँचने पर \\(a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2=1/4\\) मिलता है। इसलिए यह अलग समानांतर रेखाओं का मामला नहीं है। परीक्षा-युक्ति: यदि तीनों अनुपात समान हों, तो रेखाएँ संपाती और हल अनंत होते हैं।
Here (11/5 \ne 6/3) so the lines will intersect. In exams write unique solution when the first two ratios are different.यहां (11/5 \ne 6/3) इसलिए रेखाएं कटेंगी। परीक्षा में अलग पहले दो अनुपात देखकर unique solution लिखें।
For two linear equations to have infinitely many solutions, the condition is \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\). Here, \(\frac{2}{6}=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}\). Therefore, \(\frac{a}{9}=\frac{1}{3}\), giving \(a=3\). Hence, option B is correct. Exam tip: infinitely many solutions require all three coefficient-to-constant ratios to be equal; equality of only two ratios is not sufficient.दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने की शर्त है: \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)। यहाँ \(\frac{2}{6}=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}\) है। इसलिए \(\frac{a}{9}=\frac{1}{3}\), जिससे \(a=3\) प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प B है। परीक्षा-टिप: अनंत हल के लिए तीनों अनुपात समान होने चाहिए; केवल दो अनुपात समान होने पर अनंत हल नहीं होते।
For two linear equations to have no solution, the condition is a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂. Here, k/3 = 4/2 = 2, so k = 6. Also, 8/9 is not equal to 2; therefore, the two lines are distinct and parallel. Hence, option C is correct. Exam tip: For ‘no solution’, first equate the ratios of the coefficients of the variables and then check that the ratio of the constants is different.दो रैखिक समीकरणों का कोई हल नहीं होने की शर्त है: a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂। यहाँ k/3 = 4/2 = 2 होना चाहिए, इसलिए k = 6। साथ ही 8/9, 2 के बराबर नहीं है, इसलिए रेखाएँ समांतर और अलग होंगी। अतः सही उत्तर विकल्प C है। परीक्षा-युक्ति: ‘कोई हल नहीं’ के लिए पहले दोनों चर के गुणांकों का अनुपात समान करें और नियतांकों का अनुपात अलग जाँचें।
For two linear equations to have infinitely many solutions, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) must hold. Here, \(\frac{5}{10}=\frac{20}{40}=\frac{1}{2}\), so \(\frac{b}{6}=\frac{1}{2}\), giving \(b=3\). If \(b=4\), then \(\frac{b}{6}\neq\frac{1}{2}\), so the equations would not have infinitely many solutions. Exam tip: For infinitely many solutions, verify that all three corresponding ratios are equal.दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने के लिए
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) होना चाहिए। यहाँ \(\frac{5}{10}=\frac{20}{40}=\frac{1}{2}\), इसलिए \(\frac{b}{6}=\frac{1}{2}\), जिससे \(b=3\) प्राप्त होता है। \(b=4\) लेने पर \(\frac{b}{6}\neq\frac{1}{2}\), इसलिए अनंत हल नहीं होंगे। परीक्षा-युक्ति: अनंत हल के लिए तीनों अनुपात समान जाँचें।
For two linear equations to have no solution, the condition is \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\). Here, \(\frac{p}{4}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\), which gives \(p=2\). Also, \(\frac{10}{23}\ne\frac{1}{2}\), so the two lines are parallel and distinct. Exam tip: first equate the ratios of the coefficients of x and y, then verify that the ratio of the constant terms is different.दो रैखिक समीकरणों का कोई हल नहीं होने के लिए शर्त है: \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\)। यहाँ \(\frac{p}{4}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\) होना चाहिए, इसलिए \(p=2\)। साथ ही \(\frac{10}{23}\ne\frac{1}{2}\), अतः दोनों रेखाएँ समांतर और असंगत हैं। परीक्षा-युक्ति: पहले x और y के गुणांकों का अनुपात बराबर करें, फिर अचर पदों का अनुपात अलग होना जाँचें।
For two linear equations to have infinitely many solutions, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) must hold. Here, \(\frac{7}{1}=\frac{28}{4}=7\), so \(\frac{m}{2}=7\), giving \(m=14\). Therefore, option C is correct. Exam tip: infinitely many solutions occur when the coefficients and constants of both equations are proportional.दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने के लिए
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) होना चाहिए। यहाँ \(\frac{7}{1}=\frac{28}{4}=7\), इसलिए \(\frac{m}{2}=7\), जिससे \(m=14\) प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प C है। परीक्षा-टिप: अनंत हल की स्थिति में दोनों समीकरण एक-दूसरे के समानुपाती होते हैं।
When \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\), both equations represent the same line. Hence, every point on that line satisfies both equations, giving infinitely many solutions. In option B, the lines are distinct and parallel, so there is no solution. Exam tip: equality of all three ratios means infinitely many solutions; if only the first two ratios are equal and the third differs, there is no solution.जब \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) होता है, तब दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं। इसलिए उस रेखा का प्रत्येक बिंदु दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है और अनंत अनेक हल मिलते हैं। विकल्प B में रेखाएँ समानांतर तथा अलग होती हैं, इसलिए कोई हल नहीं होता। परीक्षा टिप: तीनों अनुपात बराबर हों तो अनंत हल, जबकि केवल पहले दो अनुपात बराबर हों और तीसरा अलग हो तो कोई हल नहीं होता।
