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SubjectsMathematics
In this Class 10 Mathematics topic, students learn how to determine whether a pair of linear equations in two variables has a solution. They compare the ratios of the coefficients and constants to identify the three possibilities: a unique solution, infinitely many solutions, or no solution. The topic connects algebraic conditions with the graphical meaning of intersecting, coincident, and parallel lines, helping students classify equation pairs accurately and understand when they are consistent or inconsistent.
Easy · Level 3 · 25 questions
TOPIC PRACTICE
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The first equation is (2) times the second, so both lines are coincident. Coincident lines have infinitely many solutions.पहला समीकरण दूसरे का (2) गुना है, इसलिए दोनों रेखाएं संपाती हैं। संपाती रेखाओं के अनंत हल होते हैं।
The second equation is (2) times the first so both lines are coincident. Coincident lines have infinitely many solutions.दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है इसलिए दोनों रेखाएं संपाती हैं। संपाती रेखाओं में अनंत हल होते हैं।
Here (3/6=4/8) but (11/25) is different so there is no solution. In exams equal first two ratios and a different third ratio mean inconsistent.यहां (3/6=4/8) लेकिन (11/25) अलग है इसलिए कोई हल नहीं। परीक्षा में पहले दो अनुपात बराबर और तीसरा अलग हो तो असंगत लिखें।
Here (1/2 \ne 7/9) so the lines intersect at one point. Different coefficient ratios give one unique solution.यहां (1/2 \ne 7/9) इसलिए रेखाएं एक बिंदु पर कटती हैं। अलग गुणांक अनुपात एक अद्वितीय हल देते हैं।
When all three ratios are equal both equations give the same line. This is called a consistent and dependent pair.तीनों अनुपात बराबर होने पर दोनों समीकरण एक ही रेखा देते हैं। इसे संगत और आश्रित युग्म कहते हैं।
Equal first two ratios give the same slope and a different third ratio keeps the lines separate. Such lines have no solution.पहले दो अनुपात बराबर होने से ढाल समान होती है और तीसरा अलग होने से रेखाएं अलग रहती हैं। ऐसी रेखाओं का कोई हल नहीं होता।
When the ratios of (a) and (b) are different the lines intersect. Intersecting lines give exactly one common point.जब (a) और (b) के अनुपात अलग होते हैं तो रेखाएं कटती हैं। कटती रेखाएं एक ही सामान्य बिंदु देती हैं।
The second equation is (2) times the first so both lines are the same. All points on the same line are solutions.दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है इसलिए दोनों रेखाएं एक ही हैं। एक ही रेखा के सभी बिंदु हल होते हैं।
Here (4/8=1/2) but (6/15) is different so the lines are parallel. Distinct parallel lines give no solution.यहां (4/8=1/2) लेकिन (6/15) अलग है इसलिए रेखाएं समानांतर हैं। समानांतर अलग रेखाएं हल नहीं देतीं।
The first equation is (3) times the second so both are the same line. In such questions spotting the common multiplier is the fastest method.पहला समीकरण दूसरे का (3) गुना है इसलिए दोनों एक ही रेखा हैं। ऐसे प्रश्नों में समान गुणक पहचानना तेज तरीका है।
Comparing the coefficients, \(a_1/a_2=2/4=1/2\) and \(b_1/b_2=(-3)/(-6)=1/2\), but \(c_1/c_2=5/7\). Thus, \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), which is the condition for distinct parallel lines. Therefore, option C is correct. Option B is incorrect because coincident lines require all three ratios to be equal. Exam tip: If \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), the lines are distinct and parallel.पहली रेखा के गुणांकों की तुलना में \(a_1/a_2=2/4=1/2\) और \(b_1/b_2=(-3)/(-6)=1/2\), जबकि \(c_1/c_2=5/7\) है। इसलिए \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), जो अलग-अलग समानांतर रेखाओं की शर्त है। अतः सही उत्तर विकल्प C है। विकल्प B गलत है, क्योंकि संपाती रेखाओं के लिए तीनों अनुपात बराबर होने चाहिए। परीक्षा-टिप: \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\) दिखे तो रेखाएं समानांतर और अलग होती हैं।
The direct answer is option D: one unique solution. For two linear equations \(a_1x+b_1y+c_1=0\) and \(a_2x+b_2y+c_2=0\), different ratios \(a_1/a_2\) and \(b_1/b_2\) mean the lines have different slopes and meet once. Here \(a_1/a_2=7/5\), while \(b_1/b_2=2/4=1/2\). These are unequal, so the lines are neither parallel nor the same line. They intersect at exactly one point. Option A, infinitely many solutions, would require all three corresponding ratios to be equal. Option B, no solution, would describe distinct parallel lines, usually when the coefficient ratios are equal but the constant ratio differs. Option C, exactly two solutions, is impossible for two distinct linear equations in two variables: two lines can meet once, never, or coincide, but not at exactly two points. Option D is therefore correct. Exam cue: unequal coefficient ratios usually signal a unique solution.सीधा उत्तर विकल्प D है: एक अद्वितीय हल। दो रैखिक समीकरणों \(a_1x+b_1y+c_1=0\) और \(a_2x+b_2y+c_2=0\) में यदि \(a_1/a_2\) और \(b_1/b_2\) बराबर न हों, तो रेखाओं की ढाल अलग होती है और वे एक बिंदु पर मिलती हैं। यहाँ \(a_1/a_2=7/5\), जबकि \(b_1/b_2=2/4=1/2\)। दोनों अनुपात अलग हैं, इसलिए रेखाएँ न तो समानांतर हैं और न ही एक ही रेखा हैं। वे ठीक एक बिंदु पर काटेंगी। विकल्प A, अनंत हल, के लिए तीनों अनुपात बराबर होने चाहिए। विकल्प B, कोई हल नहीं, अलग समानांतर रेखाओं की स्थिति है; इसमें सामान्यतः पहले दो अनुपात बराबर और स्थिर पद का अनुपात अलग होता है। विकल्प C, ठीक दो हल, दो रेखाओं के लिए संभव नहीं है; रेखाएँ एक बार कटती हैं, कभी नहीं कटतीं, या पूरी तरह मिलती हैं। इसलिए D सही है। परीक्षा संकेत: अलग गुणांक अनुपात प्रायः अद्वितीय हल बताते हैं।
Lines that never meet are parallel so there is no common point. No common point means no solution.न मिलने वाली रेखाएं समानांतर होती हैं इसलिए कोई सामान्य बिंदु नहीं होता। सामान्य बिंदु न होने का अर्थ कोई हल नहीं है।
The governing concept is the graphical classification of a pair of linear equations. When two lines completely overlap, they are called coincident lines. Every point on one line also lies on the other, so every such point satisfies both equations simultaneously. A line contains infinitely many points; consequently, the pair has infinitely many ordered-pair solutions. Thus option C is correct. Distinct parallel lines never meet and give no solution, while intersecting lines share exactly one point and give one solution. Option D is not a general description of a coincident pair because the common points need not lie on y = 0; they can lie anywhere on the common line.यहाँ मुख्य अवधारणा दो रैखिक समीकरणों के ग्राफ के आधार पर हलों का वर्गीकरण है। जब दो रेखाएँ पूरी तरह एक-दूसरे पर आ जाती हैं, तो उन्हें संपाती रेखाएँ कहते हैं। पहली रेखा का प्रत्येक बिंदु दूसरी रेखा पर भी स्थित होता है, इसलिए वह दोनों समीकरणों को एक साथ संतुष्ट करता है। एक रेखा पर अनंत बिंदु होते हैं; अतः ऐसे युग्म के अनंत क्रमित-युग्म हल होते हैं। इसलिए विकल्प C सही है। अलग-अलग समानांतर रेखाएँ कभी नहीं मिलतीं और उनका कोई हल नहीं होता, जबकि प्रतिच्छेदी रेखाएँ केवल एक बिंदु पर मिलती हैं और एक अद्वितीय हल देती हैं। विकल्प D सामान्यतः सही नहीं है, क्योंकि साझा रेखा के बिंदु आवश्यक नहीं कि y = 0 पर हों।
When two lines intersect at exactly one point, the pair has one unique solution. Therefore, it is a consistent and independent pair. An inconsistent pair is represented by distinct parallel lines, whereas a consistent and dependent pair has coincident lines and infinitely many solutions. Exam tip: One intersection point = one unique solution = consistent and independent.दो रेखाओं का केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करना दर्शाता है कि युग्म का केवल एक अद्वितीय हल है। इसलिए यह संगत और स्वतंत्र युग्म होता है। असंगत युग्म की रेखाएं समानांतर और अलग होती हैं, जबकि संगत और आश्रित युग्म में दोनों रेखाएं संपाती होती हैं तथा अनंत हल होते हैं। परीक्षा-युक्ति: एक प्रतिच्छेद बिंदु = एक अद्वितीय हल = संगत और स्वतंत्र।
The second equation is (3) times the first so both lines are coincident. Coincident lines give infinitely many solutions.दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना है इसलिए दोनों रेखाएं संपाती हैं। संपाती रेखाएं अनंत हल देती हैं।
Here (9/3=6/2) but (21/8) is different so the lines are parallel. Distinct parallel lines have no solution.यहां (9/3=6/2) लेकिन (21/8) अलग है इसलिए रेखाएं समानांतर हैं। समानांतर अलग रेखाओं में कोई हल नहीं होता।
The governing concept is the ratio test for a pair of linear equations, a x + b y + c = 0 and a₁x + b₁y + c₁ = 0. Here a/a₁ = 3/6 = 1/2, but b/b₁ = 5/11, and these ratios are unequal. Therefore the two lines have different slopes and intersect at exactly one point. A pair with one intersection has one unique solution, so option A is correct. Infinitely many solutions would require all three corresponding ratios to be equal, while no solution would require a/a₁ = b/b₁ but not c/c₁. Since the coefficient ratios already differ, neither of those cases applies.यहाँ मुख्य अवधारणा दो रैखिक समीकरणों की संगतता जाँचने वाला अनुपात-परीक्षण है। समीकरणों के x-गुणांकों का अनुपात 3/6 = 1/2 है, जबकि y-गुणांकों का अनुपात 5/11 है। ये दोनों अनुपात बराबर नहीं हैं। इसलिए दोनों रेखाओं की ढाल अलग होगी और वे ठीक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगी। एक बिंदु पर मिलने वाली रेखाएँ एक अद्वितीय हल देती हैं, अतः विकल्प A सही है। अनंत हलों के लिए तीनों संगत अनुपात बराबर होने चाहिए। कोई हल न होने की स्थिति में पहले दो अनुपात बराबर, पर स्थिर पद का अनुपात अलग होता है। यहाँ पहले ही दो अनुपात असमान हैं, इसलिए वे दोनों स्थितियाँ लागू नहीं होतीं।
The direct answer is option C: inconsistent. A pair is called consistent if it has at least one common solution. If it has no common solution, it is inconsistent. On a graph, two linear equations with no common solution are represented by distinct parallel lines: they never meet, so no ordered pair \((x,y)\) satisfies both equations. Option A, consistent, is wrong because consistency means one or more common solutions. Option B, dependent, usually means the two equations represent the same line and therefore have infinitely many common solutions, not zero. Option C is correct because the phrase “no common solution” is exactly the definition of an inconsistent pair. Option D, independent, generally refers to equations that give a unique common solution, so it does not describe this case. Memory cue: no solution means inconsistent; one solution means independent and consistent; infinitely many solutions means dependent and consistent.सीधा उत्तर विकल्प C है: असंगत। जिस युग्म का कम-से-कम एक सामान्य हल हो, उसे संगत कहते हैं। यदि दोनों समीकरणों का कोई भी सामान्य हल न हो, तो युग्म असंगत कहलाता है। ग्राफ में ऐसी स्थिति दो अलग समानांतर रेखाओं से दिखाई जाती है। वे कभी नहीं मिलतीं, इसलिए कोई भी क्रमित युग्म \((x,y)\) दोनों समीकरणों को एक साथ संतुष्ट नहीं करता। विकल्प A, संगत, गलत है, क्योंकि संगत का अर्थ कम-से-कम एक सामान्य हल होना है। विकल्प B, आश्रित, सामान्यतः एक ही रेखा को दर्शाता है और उसमें अनंत सामान्य हल होते हैं, शून्य नहीं। विकल्प C सही है, क्योंकि “कोई सामान्य हल नहीं” असंगत की ठीक परिभाषा है। विकल्प D, स्वतंत्र, प्रायः एक अद्वितीय हल वाले युग्म के लिए कहा जाता है, इसलिए यहाँ उपयुक्त नहीं है। याद रखने का तरीका: कोई हल नहीं—असंगत; एक हल—स्वतंत्र और संगत; अनंत हल—आश्रित और संगत।
Infinitely many common solutions occur only when both equations represent the same line. In exams this can be written as coincident lines.अनंत सामान्य हल तभी मिलते हैं जब दोनों समीकरण एक ही रेखा दर्शाते हैं। परीक्षा में इसे coincident lines लिख सकते हैं।
Exactly one common solution means that the graphs of the two linear equations share only one point. Therefore, the lines intersect at exactly one point. Coincident lines have infinitely many common points, whereas distinct parallel lines have no common point. Exam tip: one solution means intersecting lines, no solution means distinct parallel lines, and infinitely many solutions mean coincident lines.दो रैखिक समीकरणों का एक ही सामान्य हल होने का अर्थ है कि उनके संगत रेखाचित्रों में केवल एक साझा बिंदु है। इसलिए रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेदित होंगी। संपाती रेखाओं के अनंत सामान्य बिंदु होते हैं, जबकि भिन्न समानांतर रेखाओं का कोई सामान्य बिंदु नहीं होता। परीक्षा में याद रखें: एक हल = प्रतिच्छेदी रेखाएँ, कोई हल नहीं = भिन्न समानांतर रेखाएँ, और अनंत हल = संपाती रेखाएँ।
A pair of linear equations has no solution when the ratios of the coefficients of x and y are equal, but the ratio of the constant terms is different. Thus, k/8 = 3/6 gives k = 4. Also, 6/15 is not equal to 3/6, so the two lines are distinct and parallel. Therefore, 4 is correct. Exam tip: For no solution, check a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂.दो रैखिक समीकरणों का कोई हल नहीं होता जब x और y के गुणांकों का अनुपात समान हो, लेकिन अचर पदों का अनुपात अलग हो। इसलिए k/8 = 3/6 से k = 4 प्राप्त होता है। साथ ही 6/15, 3/6 के बराबर नहीं है, इसलिए दोनों रेखाएँ समानांतर और अलग हैं। अतः सही उत्तर 4 है। परीक्षा-युक्ति: ‘कोई हल नहीं’ के लिए a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ जाँचें।
For a pair of linear equations to have infinitely many solutions, a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ must hold. Here, 5/10 = 9/18 = 1/2, so 2/b = 1/2, which gives b = 4. Therefore, option C is correct. Exam tip: For infinitely many solutions, all three corresponding ratios must be equal, not just two of them.दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने के लिए a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ होना चाहिए। यहाँ 5/10 = 9/18 = 1/2 है, इसलिए 2/b = 1/2। अतः b = 4। इसलिए सही विकल्प C है। परीक्षा-टिप: अनंत हल के लिए तीनों अनुपात समान होने चाहिए; केवल दो अनुपातों का समान होना पर्याप्त नहीं है।
For two linear equations to have infinitely many solutions, the condition is \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\). Here, \(\frac{3}{6}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}\), so \(\frac{k}{8}=\frac{1}{2}\), giving \(k=4\). Therefore, option B is correct. Exam tip: infinitely many solutions require all three corresponding ratios to be equal, not just two of them.दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने की शर्त है: \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)। यहाँ \(\frac{3}{6}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}\), इसलिए \(\frac{k}{8}=\frac{1}{2}\), जिससे \(k=4\) प्राप्त होता है। अतः सही उत्तर विकल्प B है। परीक्षा-टिप: अनंत हल के लिए तीनों अनुपात बराबर होने चाहिए; केवल दो अनुपात बराबर होना पर्याप्त नहीं है।
For two linear equations to have no solution, the condition is \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\). Here, \(\frac{a}{6}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\), while \(\frac{5}{13}\ne\frac{1}{2}\). Hence, \(a=3\). With the other options, the coefficient ratios are unequal, so the equations have a unique solution. Exam tip: first equate the ratios of the coefficients of x and y, then compare that ratio with the constants.दो रैखिक समीकरणों का कोई हल नहीं होने की शर्त है \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\)। यहाँ \(\frac{a}{6}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\) होना चाहिए, जबकि \(\frac{5}{13}\ne\frac{1}{2}\)। इसलिए \(a=3\)। अन्य विकल्पों में गुणांकों का अनुपात समान नहीं होगा और समीकरणों का एकमात्र हल प्राप्त होगा। परीक्षा टिप: पहले x और y के गुणांकों का अनुपात समान करें, फिर नियतांकों के अनुपात से उसकी तुलना करें।
