(3) is a non-zero rational number and \(\sqrt{7}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
\(3\sqrt{7}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
Multiplication by zero is a special case, so focus on non-zero rational factors. चरण 1: (3) अशून्य परिमेय है और \(\sqrt{7}\) अपरिमेय है। चरण 2: \(3\sqrt{7}\) अपरिमेय रहेगा। चरण 3: शून्य से गुणा करने का मामला अलग होता है, इसलिए अशून्य परिमेय पर ध्यान दें।
The sum of a rational and an irrational number is irrational.
Step 3
Exam Tip
Adding an integer does not remove the square-root part. चरण 1: (5) परिमेय है और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 2: परिमेय और अपरिमेय का योग अपरिमेय होता है। चरण 3: केवल पूर्णांक जुड़ने से वर्गमूल वाला भाग खत्म नहीं होता।
Adding a rational number does not remove the irrational part.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(4+\sqrt{2}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
The sum of a rational and an irrational number is an important rule to remember. चरण 1: परिमेय संख्या को जोड़ने से अपरिमेय भाग खत्म नहीं होता। चरण 2: जैसे \(4+\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 3: परिमेय और अपरिमेय का योग याद रखने योग्य नियम है।
So \(\sqrt{10}\) cannot be written exactly as \(\frac{p}{q}\).
Step 3
Exam Tip
Be careful while identifying square roots of non-perfect squares. चरण 1: (10) पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 2: इसलिए \(\sqrt{10}\) को ठीक-ठीक \(\frac{p}{q}\) के रूप में नहीं लिखा जा सकता। चरण 3: बिना पूर्ण वर्ग वाली संख्या का वर्गमूल पहचानने में सावधानी रखें।
B. अभाज्य गुणनखंडन में केवल अभाज्य संख्याएं आधार होती हैं/Only prime numbers are bases in prime factorisation
Step 1
Concept
Prime factorisation means writing a number as a product of prime numbers.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, the bases must be prime numbers only.
Step 3
Exam Tip
Treating (1) as a prime factor is a major mistake. चरण 1: अभाज्य गुणनखंडन का अर्थ है संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल में लिखना। चरण 2: इसलिए आधार केवल अभाज्य संख्याएं होनी चाहिए। चरण 3: (1) को अभाज्य गुणनखंड मानना बड़ी गलती है।
When one number is a multiple of the other, the smaller number divides both numbers exactly.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, the HCF is the smaller number.
Step 3
Exam Tip
This rule helps solve multiple-based questions quickly. चरण 1: जब एक संख्या दूसरी की गुणज होती है, तो छोटी संख्या दोनों को पूरा भाग देती है। चरण 2: इसलिए महत्तम समापवर्तक छोटी संख्या होती है। चरण 3: गुणज वाले प्रश्नों में यह छोटा नियम तेजी से उत्तर दिलाता है।
When the larger number is a multiple of the smaller number, it is divisible by both numbers.
Step 2
Why this answer is correct
So the LCM is the larger number itself.
Step 3
Exam Tip
In such questions, first check whether one number is a multiple of the other. चरण 1: जब बड़ी संख्या छोटी संख्या की गुणज होती है, तो बड़ी संख्या दोनों से विभाजित हो जाती है। चरण 2: इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य वही बड़ी संख्या होती है। चरण 3: ऐसे प्रश्न में पहले जांचें कि एक संख्या दूसरी की गुणज है या नहीं।
B. ( महत्तम समापवर्तक\(\times\)लघुत्तम समापवर्त्य\(=\)दोनों संख्याओं का गुणनफल )/( HCF\(\times\)LCM\(=\)product of the two numbers )
Step 1
Concept
For two numbers, a special relation is used.
Step 2
Why this answer is correct
The product of HCF and LCM equals the product of the two numbers.
Step 3
Exam Tip
Apply this relation directly only for two numbers. चरण 1: दो संख्याओं के लिए एक खास संबंध प्रयोग होता है। चरण 2: महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य का गुणनफल उन दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 3: यह संबंध केवल दो संख्याओं पर सीधे लगाएं।
B. सभी अभाज्य गुणनखंडों की बड़ी घात/Highest power of all prime factors
Step 1
Concept
LCM is the smallest number divisible by all the given numbers.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, the highest powers of all prime factors are taken.
Step 3
Exam Tip
Remember the rule: all factors with highest powers for LCM. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य ऐसी सबसे छोटी संख्या है जो दी गई सभी संख्याओं से विभाजित हो। चरण 2: इसलिए सभी अभाज्य गुणनखंडों की बड़ी घात ली जाती है। चरण 3: नियम याद रखें, लघुत्तम समापवर्त्य में सभी और बड़ी घात।
A. समान गुणनखंडों की छोटी घात/Smaller power of common factors
Step 1
Concept
HCF is made only from common prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
Among common factors, the smaller power is chosen because it divides both numbers.
Step 3
Exam Tip
Remember the rule: common factors with smaller powers for HCF. चरण 1: महत्तम समापवर्तक केवल समान अभाज्य गुणनखंडों से बनता है। चरण 2: समान गुणनखंडों में छोटी घात चुनी जाती है क्योंकि वही दोनों संख्याओं को पूरा भाग दे सकती है। चरण 3: नियम याद रखें, महत्तम समापवर्तक में समान और छोटी घात।
A. हर (1) से बड़ी पूर्ण संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में एक ही मूल रूप में लिखा जा सकता है/Every integer greater than (1) can be written as a product of primes in one basic way
Step 1
Concept
The fundamental theorem of arithmetic says every integer greater than (1) has a unique prime factorisation except for order.
Step 2
Why this answer is correct
Option A states this correctly.
Step 3
Exam Tip
Unique means the same prime factors appear, only their order may change. चरण 1: अंकगणित का मूल सिद्धांत कहता है कि (1) से बड़ी हर संख्या का अभाज्य गुणनखंडन क्रम को छोड़कर अद्वितीय होता है। चरण 2: विकल्प A यही बात सही ढंग से कहता है। चरण 3: अद्वितीयता का अर्थ है कि गुणनखंड वही रहेंगे, केवल क्रम बदल सकता है।
A. गुणनखंडन पूरा नहीं माना जाता/The factorisation is not considered complete
Step 1
Concept
In final prime factorisation, every base must be prime.
Step 2
Why this answer is correct
If a composite base like 12 or 21 remains, it must be broken further.
Step 3
Exam Tip
In exams, check every base before writing the final form. चरण 1: अंतिम अभाज्य गुणनखंडन में हर आधार अभाज्य होना चाहिए। चरण 2: यदि 12 या 21 जैसा संयुक्त आधार बचा है, तो उसे आगे तोड़ना होगा। चरण 3: परीक्षा में अंतिम रूप देने से पहले हर आधार की जांच करें।
A. सभी गुणनखंड अभाज्य होने चाहिए/All factors must be prime
Step 1
Concept
In prime factorisation, a number is written as a product of prime numbers.
Step 2
Why this answer is correct
If any composite factor remains, the form is not final.
Step 3
Exam Tip
In exams, write only prime bases and their powers in the final answer. चरण 1: अभाज्य गुणनखंडन में संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल में लिखा जाता है। चरण 2: यदि कोई संयुक्त गुणनखंड बचा है, तो रूप अंतिम नहीं माना जाएगा। चरण 3: परीक्षा में अंतिम उत्तर में केवल अभाज्य आधार और उनकी घातें लिखें।
A. किसी संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखना/Writing a number as a product of prime numbers
Step 1
Concept
In prime factorisation, a number is written as a product of prime numbers.
Step 2
Why this answer is correct
For example, 12 can be written as \(2^2\times3\).
Step 3
Exam Tip
Keep only prime numbers in the final form. चरण 1: अभाज्य गुणनखंडन में संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल में लिखते हैं। चरण 2: जैसे 12 को \(2^2\times3\) लिखा जा सकता है। चरण 3: अंतिम रूप में केवल अभाज्य संख्याएं रखें।
A. क्योंकि 1 अभाज्य संख्या नहीं है/Because 1 is not a prime number
Step 1
Concept
In prime factorisation, only prime factors are written.
Step 2
Why this answer is correct
1 is not prime because it does not have exactly two positive factors.
Step 3
Exam Tip
Therefore, \(1\times n\) is not treated as prime factorisation. चरण 1: अभाज्य गुणनखंडन में केवल अभाज्य गुणनखंड लिखे जाते हैं। चरण 2: 1 अभाज्य नहीं है, क्योंकि उसके ठीक दो धनात्मक भाजक नहीं होते। चरण 3: इसलिए \(1\times n\) को अभाज्य गुणनखंडन नहीं माना जाता।
Changing the order in multiplication does not change the product.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(2\times3\times5\) and \(5\times3\times2\) both give 30.
Step 3
Exam Tip
In prime factorisation, the factors matter, not their order. चरण 1: गुणा में क्रम बदलने से गुणनफल नहीं बदलता। चरण 2: जैसे \(2\times3\times5\) और \(5\times3\times2\) दोनों 30 देते हैं। चरण 3: अभाज्य गुणनखंडन में क्रम महत्वपूर्ण नहीं, गुणनखंड महत्वपूर्ण हैं।
If the number is exactly divisible by (8), the remainder is (0).
Step 3
Exam Tip
The smallest possible remainder is always (0). चरण 1: शेषफल की सीमा (0) से शुरू होती है। चरण 2: यदि संख्या (8) से पूरी तरह विभाजित हो जाए तो शेषफल (0) होगा। चरण 3: सबसे छोटा संभव शेषफल हमेशा (0) होता है।
In Euclid’s division lemma, the remainder is not negative.
Step 2
Why this answer is correct
The remainder is smaller than the divisor, so \(0 \le r < b\) is correct.
Step 3
Exam Tip
Avoid the common mistake of allowing (r=b). चरण 1: यूक्लिड विभाजन प्रमेय में शेषफल ऋणात्मक नहीं होता। चरण 2: शेषफल भाजक से छोटा होता है, इसलिए \(0 \le r < b\) सही है। चरण 3: परीक्षा में (r=b) वाली गलती से बचें।
On division by (16), remainders can be from (0) to (15).
Step 2
Why this answer is correct
These are (16) values in total.
Step 3
Exam Tip
For a divisor (b), there are (b) possible remainders. चरण 1: (16) से भाग देने पर शेषफल (0) से (15) तक हो सकते हैं। चरण 2: ये कुल (16) मान हैं। चरण 3: किसी भाजक (b) के लिए संभावित शेषफल (b) ही होते हैं।
A. दो धनात्मक पूर्णांकों के विभाजन को सही रूप में लिखने में/Writing the division of two positive integers in correct form
Step 1
Concept
This lemma explains the basic structure of division.
Step 2
Why this answer is correct
It helps write the dividend, divisor, quotient, and remainder in the form (a=bq+r).
Step 3
Exam Tip
In the chapter on real numbers, it becomes a base for later methods. चरण 1: यह प्रमेय विभाजन की मूल रचना समझाता है। चरण 2: इसकी मदद से (a=bq+r) रूप में भाज्य, भाजक, भागफल और शेषफल को लिखा जाता है। चरण 3: वास्तविक संख्याओं के अध्याय में यह आगे की विधियों का आधार है।
A. लोग अपने को एक बड़े राष्ट्र समुदाय का भाग समझें/People should see themselves as part of a larger national community
Step 1
Concept
Collective belonging is a feeling beyond personal identity.
Step 2
Why this answer is correct
In it, people see themselves as part of a larger national family.
Step 3
Exam Tip
In exams, understand this term through shared identity and unity. चरण 1: सामूहिक अपनापन व्यक्तिगत पहचान से आगे की भावना है। चरण 2: इसमें लोग अपने को एक बड़े राष्ट्रीय परिवार का हिस्सा मानते हैं। चरण 3: परीक्षा में इस शब्द को साझा पहचान और एकता से समझें।
A. एक साझा राष्ट्रीय मंच पर अलग-अलग वर्ग अपनी अलग मांगों के साथ आए/Different classes came to a shared national platform with their own demands
Step 1
Concept
Peasants, tribals, workers, and business groups came from different social conditions.
Step 2
Why this answer is correct
They understood swaraj according to their needs.
Step 3
Exam Tip
In exams, write diversity with examples. चरण 1: किसान, आदिवासी, मजदूर और व्यापारी अलग सामाजिक स्थितियों से आए थे। चरण 2: उन्होंने स्वराज को अपनी जरूरतों के अनुसार समझा। चरण 3: परीक्षा में विविधता को उदाहरणों के साथ लिखें।
A. स्वराज का अर्थ केवल राजनीतिक शासन नहीं, बल्कि जीवन की बंदिशों से मुक्ति भी था/Swaraj meant not only political rule but also freedom from restrictions in life
Step 1
Concept
The biggest problem for plantation workers was restriction.
Step 2
Why this answer is correct
So they understood swaraj as freedom in life.
Step 3
Exam Tip
In exams, connect swaraj with different life situations. चरण 1: बागान मजदूरों के लिए सबसे बड़ी समस्या बंदिशें थीं। चरण 2: इसलिए उन्होंने स्वराज को जीवन की आजादी के रूप में समझा। चरण 3: परीक्षा में स्वराज को अलग-अलग जीवन स्थितियों से जोड़ें।
A. एक ही आंदोलन में अलग-अलग आकांक्षाएं शामिल थीं/Different aspirations were included in the same movement
Step 1
Concept
Peasants, tribals, workers, and business groups had different problems.
Step 2
Why this answer is correct
Still, they connected with swaraj and the national movement.
Step 3
Exam Tip
In exams, write this as diversity within a mass movement. चरण 1: किसान, आदिवासी, मजदूर और व्यापारी सभी की समस्याएं अलग थीं। चरण 2: फिर भी वे स्वराज और राष्ट्रीय आंदोलन से जुड़ गए। चरण 3: परीक्षा में इसे जनआंदोलन की विविधता के रूप में लिखें।
A. क्योंकि उनके अनुभव और समस्याएं अलग थीं/Because their experiences and problems were different
Step 1
Concept
Peasants workers merchants and tribals had different problems.
Step 2
Why this answer is correct
So their expectations from swaraj were also different.
Step 3
Exam Tip
This topic is important for understanding diverse participation. चरण 1: किसानों मजदूरों व्यापारियों और आदिवासियों की समस्याएं अलग थीं। चरण 2: इसलिए स्वराज से उनकी उम्मीदें भी अलग थीं। चरण 3: यह विषय विविध भागीदारी को समझने में बहुत महत्वपूर्ण है।
A. शोषण से राहत के रूप में/Relief from exploitation
Step 1
Concept
Many peasants saw swaraj as freedom from daily suffering.
Step 2
Why this answer is correct
For them it meant lower rent and relief from exploitation.
Step 3
Exam Tip
Remember that swaraj had different meanings for different groups. चरण 1: किसान स्वराज को अपने रोजमर्रा के कष्टों से मुक्ति के रूप में देखते थे। चरण 2: उनके लिए यह लगान कम होने और शोषण रुकने की आशा थी। चरण 3: स्वराज का अर्थ अलग-अलग समूहों के लिए अलग हो सकता था।
A. क्योंकि सभी जीवों के शरीर के टुकड़े नए जीव नहीं बना सकते/Because body pieces of all organisms cannot form new organisms
Step 1
Concept
Some organisms like Planaria can form a new organism from a small piece.
Step 2
Why this answer is correct
In more complex organisms, repair may occur but a whole organism may not form.
Step 3
Exam Tip
Therefore regeneration ability is not the same in all organisms. चरण 1: कुछ जीव जैसे प्लैनेरिया छोटे टुकड़े से नया जीव बना सकते हैं। चरण 2: अधिक जटिल जीवों में अंग की मरम्मत हो सकती है पर पूरा जीव नहीं बनता। चरण 3: इसलिए पुनर्जनन की क्षमता हर जीव में समान नहीं होती।
A. श्वास लेना हवा का आना जाना है और श्वसन भोजन से ऊर्जा मुक्त करना है/Breathing is air movement and respiration is energy release from food
Step 1
Concept
Breathing is the movement of air in and out.
Step 2
Why this answer is correct
Respiration breaks food in cells to release energy.
Step 3
Exam Tip
So they are related but not the same. चरण 1: श्वास लेने में हवा अंदर और बाहर जाती है। चरण 2: श्वसन कोशिकाओं में भोजन को तोड़कर ऊर्जा देता है। चरण 3: इसलिए दोनों जुड़े हुए हैं पर समान नहीं हैं।
B. क्योंकि अलग समूह अलग वातावरणों में अलग दिशाओं में बदलते हैं/Because different groups change in different directions in different environments
Step 1
Concept
Evolution does not always mean moving from simple to superior.
Step 2
Why this answer is correct
Different adaptations develop in different environments.
Step 3
Exam Tip
Therefore, evolution spreads like branches. चरण 1: विकास का अर्थ हमेशा सरल से श्रेष्ठ बनना नहीं है। चरण 2: अलग वातावरणों में अलग अनुकूलन विकसित होते हैं। चरण 3: इसलिए विकास शाखाओं की तरह फैलता है।
A. क्योंकि विकास शाखाओं की तरह अलग अलग दिशाओं में होता है/Because evolution happens like branches in different directions
Step 1
Concept
Evolution does not always mean becoming higher or better.
Step 2
Why this answer is correct
Changes can occur in different directions in different environments.
Step 3
Exam Tip
So evolution is better understood like a branching tree. चरण 1: विकास का अर्थ हमेशा बेहतर या ऊँचा बनना नहीं है। चरण 2: अलग वातावरण में अलग दिशाओं में बदलाव हो सकते हैं। चरण 3: इसलिए विकास को शाखाओं वाले वृक्ष की तरह समझना अधिक सही है।
