Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
महिलाएं (3), (4), (5) या (6) हो सकती हैं। कुल \(\binom{7}{3}\binom{9}{3}+\binom{7}{4}\binom{9}{2}+\binom{7}{5}\binom{9}{1}+\binom{7}{6}=4396\) है। / The number of women can be (3), (4), (5), or (6). The total is \(\binom{7}{3}\binom{9}{3}+\binom{7}{4}\binom{9}{2}+\binom{7}{5}\binom{9}{1}+\binom{7}{6}=4396\).
ठीक (4) लड़के और (2) लड़कियां चाहिए। तरीके \(\binom{10}{4}\binom{8}{2}=5880\) हैं। / Exactly (4) boys and (2) girls are needed. The ways are \(\binom{10}{4}\binom{8}{2}=5880\).
(4) विशेष विद्यार्थियों को हटाने पर (13) विद्यार्थी बचते हैं। इसलिए \(\binom{13}{6}=1716\) तरीके होंगे। / After excluding (4) special students (13) students remain. So the number of ways is \(\binom{13}{6}=1716\).
(10) विज्ञान और (6) कला विद्यार्थियों में से (6) विद्यार्थी चुनने हैं जिनमें विज्ञान विद्यार्थियों की संख्या कला विद्यार्थियों की संख्या से ठीक (2) अधिक हो। कितने तरीके हैं?
यदि विज्ञान (x) और कला (y) हों तो (x+y=6) और (x=y+2), इसलिए (x=4), (y=2)। तरीके \(\binom{10}{4}\binom{6}{2}=3150\) हैं। / If science students are (x) and arts students are (y), then (x+y=6) and (x=y+2), so (x=4), (y=2). The ways are \(\binom{10}{4}\binom{6}{2}=3150\).
विशेष खिलाड़ी (1) या (2) चुने जा सकते हैं। कुल \(\binom{3}{1}\binom{10}{5}+\binom{3}{2}\binom{10}{4}=1470\) है। / The number of special players can be (1) or (2). The total is \(\binom{3}{1}\binom{10}{5}+\binom{3}{2}\binom{10}{4}=1470\).
(4) की (10) गुणज और (30) गैर-गुणज संख्याएं हैं। तरीके \(\binom{10}{2}\binom{30}{3}=122760\) हैं। / There are (10) multiples of (4) and (30) non-multiples. The ways are \(\binom{10}{2}\binom{30}{3}=122760\).
(a,b) में से (1) चुनकर बाकी (4) ऐसे चुनें कि (c,d) दोनों साथ न आएं। तरीके (\binom{2}{1}\left\(\binom{10}{4}-\binom{8}{2}\right\)=364) नहीं, सही (\binom{2}{1}\left\(\binom{10}{4}-\binom{8}{2}\right\)=364) है। / Choose (1) from (a,b), then choose the remaining (4) so that (c,d) are not both included. The correct expression is (\binom{2}{1}\left\(\binom{10}{4}-\binom{8}{2}\right\)=364).
विशेष वस्तुएं (3), (4), (5) या (6) हो सकती हैं। कुल \(\sum_{r=3}^{6}\binom{6}{r}\binom{10}{7-r}=6960\) है। / The number of special objects can be (3), (4), (5), or (6). The total is \(\sum_{r=3}^{6}\binom{6}{r}\binom{10}{7-r}=6960\).
मामले (2) विशेष और (3) विशेष के हैं। कुल \(\binom{4}{2}\binom{10}{4}+\binom{4}{3}\binom{10}{3}=2100\) है। / The cases are (2) special and (3) special students. The total is \(\binom{4}{2}\binom{10}{4}+\binom{4}{3}\binom{10}{3}=2100\).
कुल \(\binom{12}{5}=792\) में से किसी विषय के न होने वाले चयन घटाएं। सही गिनती (621) है। / Subtract selections missing at least one subject from \(\binom{12}{5}=792\). The correct count is (621).
पुरुषों की संख्या (2), (3) या (4) हो सकती है। कुल \(\binom{10}{2}\binom{8}{4}+\binom{10}{3}\binom{8}{3}+\binom{10}{4}\binom{8}{2}=15750\) है। / The number of men can be (2), (3), or (4). The total is \(\binom{10}{2}\binom{8}{4}+\binom{10}{3}\binom{8}{3}+\binom{10}{4}\binom{8}{2}=15750\).
कुल \(\binom{20}{3}=1140\) त्रिक हैं और असफल त्रिक \(\binom{8}{3}+\binom{5}{3}=66\) हैं। इसलिए (1140-66=1074) है। / Total triples are \(\binom{20}{3}=1140\) and failed triples are \(\binom{8}{3}+\binom{5}{3}=66\). Hence (1140-66=1074).
विशेष वस्तुएं (0), (1) या (2) चुनी जा सकती हैं। कुल \(\binom{5}{0}\binom{11}{6}+\binom{5}{1}\binom{11}{5}+\binom{5}{2}\binom{11}{4}=6072\) है। / The number of special objects can be (0), (1), or (2). The total is \(\binom{5}{0}\binom{11}{6}+\binom{5}{1}\binom{11}{5}+\binom{5}{2}\binom{11}{4}=6072\).
(11) खिलाड़ियों में से (5) खिलाड़ियों का चयन करना है। एक कप्तान पहले से तय है और उसे चुना नहीं जाना है लेकिन उपकप्तान अवश्य चुना जाना है। कितने तरीके हैं?
कप्तान हट गया और उपकप्तान तय है। बाकी (4) खिलाड़ी (9) में से चुने जाएंगे इसलिए \(\binom{9}{4}=126\) है। / The captain is excluded and the vice-captain is fixed. The remaining (4) players are chosen from (9), so \(\binom{9}{4}=126\).
विषम चयन की संख्या \(2^{11-1}=1024\) होती है। परीक्षा में सम और विषम चयन की संख्या बराबर याद रखें। / The number of odd selections is \(2^{11-1}=1024\). Remember that even and odd selections are equal in such questions.
सम चयन की संख्या \(2^{12-1}=2048\) होती है। सम और विषम चयन बराबर होते हैं। / The number of even selections is \(2^{12-1}=2048\). Even and odd selections are equal.
दो निश्चित कार्डों में से (1) चुनें और बाकी (4) कार्ड (11) में से चुनें। तरीके \(\binom{2}{1}\binom{11}{4}=660\) हैं। / Choose (1) of the two fixed cards and (4) cards from the remaining (11). The ways are \(\binom{2}{1}\binom{11}{4}=660\).
वरिष्ठों की संख्या (0), (1) या (2) हो सकती है। कुल \(\binom{8}{0}\binom{10}{6}+\binom{8}{1}\binom{10}{5}+\binom{8}{2}\binom{10}{4}=8106\) है। / The number of seniors can be (0), (1), or (2). The total is \(\binom{8}{0}\binom{10}{6}+\binom{8}{1}\binom{10}{5}+\binom{8}{2}\binom{10}{4}=8106\).
अंतिम (5) में से (3), (4) या (5) प्रश्न चुने जा सकते हैं। कुल \(\binom{5}{3}\binom{7}{4}+\binom{5}{4}\binom{7}{3}+\binom{5}{5}\binom{7}{2}=546\) है। / You can choose (3), (4), or (5) from the last (5) questions. The total is \(\binom{5}{3}\binom{7}{4}+\binom{5}{4}\binom{7}{3}+\binom{5}{5}\binom{7}{2}=546\).
दोनों शामिल हों तो \(\binom{10}{4}=210\) और दोनों बाहर हों तो \(\binom{10}{6}=210\) तरीके हैं। कुल (420) है। / If both are included there are \(\binom{10}{4}=210\) ways and if both are excluded there are \(\binom{10}{6}=210\) ways. The total is (420).
(4) खराब कुर्सियां हटाने पर (8) अच्छी कुर्सियां बचती हैं। (6) चुनने के तरीके \(\binom{8}{6}=28\) हैं। / After removing (4) broken chairs (8) good chairs remain. The ways to choose (6) are \(\binom{8}{6}=28\).
असफल त्रिभुज के लिए (8) समरेखीय बिंदुओं में से (3) चुने जाते हैं। इसलिए संख्या \(\binom{8}{3}\) है। / For a failed triangle (3) points are chosen from the (8) collinear points. So the number is \(\binom{8}{3}\).
(2) संख्याएं तय हैं और (2) हट गई हैं। बाकी (4) संख्याएं (11) में से \(\binom{11}{4}=330\) तरीकों से चुनी जाएंगी। / The (2) numbers are fixed and (2) are excluded. The remaining (4) numbers are chosen from (11) in \(\binom{11}{4}=330\) ways.
रसायन तय है इसलिए बाकी (3) विषय (8) में से चुनेंगे। गणित और भौतिकी दोनों साथ वाले (6) चयन हटाने पर (50) तरीके बचते हैं। / Chemistry is fixed so choose the remaining (3) subjects from (8). Removing (6) selections containing both mathematics and physics leaves (50) ways.
(a) तय है और (b) हट गया है। (c,d) में से (1) और शेष (6) में से (3) चुनेंगे इसलिए \(\binom{2}{1}\binom{6}{3}=40\) है। / The letter (a) is fixed and (b) is excluded. Choose (1) from (c,d) and (3) from the remaining (6), so \(\binom{2}{1}\binom{6}{3}=40\).
हर रंग की शर्त अलग गिनी जाएगी। तरीके \(\binom{7}{2}\binom{8}{2}\binom{9}{1}=5292\) हैं। / Each color condition is counted separately. The ways are \(\binom{7}{2}\binom{8}{2}\binom{9}{1}=5292\).
विशेष फलों में से (2) और बाकी (7) में से (3) चुनेंगे। तरीके \(\binom{5}{2}\binom{7}{3}=350\) हैं। / Choose (2) from the special fruits and (3) from the remaining (7). The ways are \(\binom{5}{2}\binom{7}{3}=350\).
कुल \(\binom{11}{5}=462\) हैं और कोई विशेष मित्र न जाए तो \(\binom{8}{5}=56\) हैं। इसलिए (462-56=406) है। / Total ways are \(\binom{11}{5}=462\) and if no special friend goes then \(\binom{8}{5}=56\). Hence (462-56=406).
पुरस्कार समान हैं इसलिए केवल चयन होगा। तरीकों की संख्या \(\binom{13}{5}=1287\) है। / The prizes are identical so only selection is needed. The number of ways is \(\binom{13}{5}=1287\).
कुल \(\binom{17}{6}=12376\) हैं। सभी सफेद \(\binom{8}{6}=28\) और सभी काली \(\binom{9}{6}=84\) हटाने पर (12264) मिलते हैं। / Total ways are \(\binom{17}{6}=12376\). Removing all-white \(\binom{8}{6}=28\) and all-black \(\binom{9}{6}=84\) gives (12264).
