Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
पुरस्कार समान हैं इसलिए केवल चयन होगा। तरीकों की संख्या \(\binom{15}{5}=3003\) है। / The prizes are identical so only selection is needed. The number of ways is \(\binom{15}{5}=3003\).
कुल \(\binom{19}{6}=27132\) हैं। सभी सफेद \(\binom{9}{6}=84\) और सभी काली \(\binom{10}{6}=210\) हटाने पर (26838) मिलते हैं। / Total ways are \(\binom{19}{6}=27132\). Removing all-white \(\binom{9}{6}=84\) and all-black \(\binom{10}{6}=210\) gives (26838).
शिक्षक (3), (4), (5), (6) या (7) हो सकते हैं। इन सभी मामलों का योग (124872) है। / The number of teachers can be (3), (4), (5), (6), or (7). The sum of all these cases is (124872).
(6) विशेष विद्यार्थियों को हटाने पर (14) विद्यार्थी बचते हैं। इसलिए \(\binom{14}{7}=3432\) तरीके हैं। / After removing (6) special students (14) students remain. Hence there are \(\binom{14}{7}=3432\) ways.
विषम संख्याएं (15) और सम संख्याएं (15) हैं। तरीके \(\binom{15}{3}\binom{15}{3}=207025\) हैं। / There are (15) odd numbers and (15) even numbers. The ways are \(\binom{15}{3}\binom{15}{3}=207025\).
(4) की (9) गुणज और (27) गैर-गुणज संख्याएं हैं। तरीके \(\binom{9}{3}\binom{27}{2}=29484\) हैं। / There are (9) multiples of (4) and (27) non-multiples. The ways are \(\binom{9}{3}\binom{27}{2}=29484\).
(1) तय है इसलिए (5) तत्व (11) में से चुनेंगे। (5), (6) दोनों होने पर \(\binom{9}{3}=84\) घटाने से (462-84=378) मिलता है। / The element (1) is fixed so choose (5) elements from (11). Subtracting \(\binom{9}{3}=84\) cases containing both (5), (6) gives (462-84=378).
(1) और (2) तय हैं तथा (3), (4) हट गए हैं। बाकी (4) तत्व (9) में से चुने जाएंगे इसलिए \(\binom{9}{4}=126\) है। / The elements (1), (2) are fixed and (3), (4) are excluded. The remaining (4) elements are chosen from (9), so \(\binom{9}{4}=126\).
पास्कल पहचान से \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\) होता है। इसलिए उत्तर \(\binom{13}{6}\) है। / By Pascal's identity \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\). Hence the answer is \(\binom{13}{6}\).
पेन (2), (3), (4) या (5) हो सकते हैं। कुल \(\binom{10}{2}\binom{9}{5}+\binom{10}{3}\binom{9}{4}+\binom{10}{4}\binom{9}{3}+\binom{10}{5}\binom{9}{2}=47502\) है। / The number of pens can be (2), (3), (4), or (5). The total is \(\binom{10}{2}\binom{9}{5}+\binom{10}{3}\binom{9}{4}+\binom{10}{4}\binom{9}{3}+\binom{10}{5}\binom{9}{2}=47502\).
ठीक (3) पुरुष और (3) महिलाएं चाहिए। तरीके \(\binom{11}{3}\binom{9}{3}=13860\) हैं। / Exactly (3) men and (3) women are needed. The ways are \(\binom{11}{3}\binom{9}{3}=13860\).
कुल \(\binom{16}{7}=11440\) हैं। (0) और (1) विशेष वाले चयन हटाने पर \(11440-\binom{11}{7}-\binom{5}{1}\binom{11}{6}=8800\) है। / Total ways are \(\binom{16}{7}=11440\). Removing selections with (0) and (1) special student gives \(11440-\binom{11}{7}-\binom{5}{1}\binom{11}{6}=8800\).
(5) विशेष में से (3) और बाकी (8) में से (3) चुनेंगे। तरीके \(\binom{5}{3}\binom{8}{3}=560\) हैं। / Choose (3) from (5) special students and (3) from the remaining (8). The ways are \(\binom{5}{3}\binom{8}{3}=560\).
एक रंग तय और एक हट गया है। बाकी (5) रंग (10) में से चुनें और दोनों अन्य रंग न आने वाले \(\binom{8}{5}\) चयन घटाएं तो (196) मिलेगा। / One color is fixed and one is excluded. Choose the remaining (5) colors from (10) and subtract \(\binom{8}{5}\) selections missing both other colors to get (196).
चयन (4), (5) या (6) उपहारों का होगा। कुल \(\binom{14}{4}+\binom{14}{5}+\binom{14}{6}=6006\) है। / The selection can be of (4), (5), or (6) gifts. The total is \(\binom{14}{4}+\binom{14}{5}+\binom{14}{6}=6006\).
डॉक्टरों की संख्या (4), (5) या (6) होगी। कुल \(\binom{10}{4}\binom{8}{2}+\binom{10}{5}\binom{8}{1}+\binom{10}{6}=8106\) है। / The number of doctors will be (4), (5), or (6). The total is \(\binom{10}{4}\binom{8}{2}+\binom{10}{5}\binom{8}{1}+\binom{10}{6}=8106\).
अंग्रेजी पुस्तकों की संख्या (2), (3) या (4) हो सकती है। कुल \(\binom{9}{2}\binom{10}{4}+\binom{9}{3}\binom{10}{3}+\binom{9}{4}\binom{10}{2}=23310\) है। / The number of English books can be (2), (3), or (4). The total is \(\binom{9}{2}\binom{10}{4}+\binom{9}{3}\binom{10}{3}+\binom{9}{4}\binom{10}{2}=23310\).
मामले (4), (5) और (6) गणित पुस्तकों के हैं। कुल \(\binom{11}{4}\binom{8}{2}+\binom{11}{5}\binom{8}{1}+\binom{11}{6}=13398\) है। / The cases are (4), (5), and (6) mathematics books. The total is \(\binom{11}{4}\binom{8}{2}+\binom{11}{5}\binom{8}{1}+\binom{11}{6}=13398\).
कुल \(\binom{12}{6}=924\) हैं और दोनों विशेष साथ हों तो \(\binom{10}{4}=210\) हैं। इसलिए (924-210=714) तरीके हैं। / Total ways are \(\binom{12}{6}=924\) and ways with both special persons are \(\binom{10}{4}=210\). Hence (924-210=714).
टीमों की जोड़ियां \(\binom{16}{2}=120\) हैं। हर जोड़ी के (3) मैच होने से कुल (360) मैच होंगे। / The pairs of teams are \(\binom{16}{2}=120\). With (3) matches for each pair the total is (360).
कुल \(\binom{18}{3}=816\) त्रिक हैं। असफल त्रिक \(\binom{7}{3}+\binom{5}{3}=45\) हैं इसलिए (816-45=771) है। / Total triples are \(\binom{18}{3}=816\). Failed triples are \(\binom{7}{3}+\binom{5}{3}=45\), so (816-45=771).
कुल \(\binom{20}{2}=190\) जोड़ियां हैं। समरेखीय समूहों के लिए \(\binom{8}{2}\) और \(\binom{5}{2}\) के स्थान पर (1), (1) रेखा लेने से (154) मिलता है। / Total pairs are \(\binom{20}{2}=190\). Replacing \(\binom{8}{2}\) and \(\binom{5}{2}\) by (1), (1) for collinear groups gives (154).
(4) विशेष में से (2) और बाकी (9) में से (4) चुनेंगे। तरीके \(\binom{4}{2}\binom{9}{4}=756\) हैं। / Choose (2) from (4) special players and (4) from the remaining (9). The ways are \(\binom{4}{2}\binom{9}{4}=756\).
कुल \(\binom{14}{6}=3003\) हैं और दोनों विशेष साथ हों तो \(\binom{12}{4}=495\) हैं। इसलिए (3003-495=2508) तरीके हैं। / Total ways are \(\binom{14}{6}=3003\) and ways with both special books are \(\binom{12}{4}=495\). Hence (3003-495=2508).
पहले (5) में से (3), (4) या (5) प्रश्न चुने जा सकते हैं। कुल \(\binom{5}{3}\binom{7}{4}+\binom{5}{4}\binom{7}{3}+\binom{5}{5}\binom{7}{2}=462\) है। / You can choose (3), (4), or (5) from the first (5) questions. The total is \(\binom{5}{3}\binom{7}{4}+\binom{5}{4}\binom{7}{3}+\binom{5}{5}\binom{7}{2}=462\).
ठीक (3) लाल और (3) नीली गेंदें चाहिए। तरीके \(\binom{8}{3}\binom{7}{3}=1960\) हैं। / Exactly (3) red and (3) blue balls are needed. The ways are \(\binom{8}{3}\binom{7}{3}=1960\).
