Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
शिक्षक (3), (4), (5) या (6) हो सकते हैं। इन सभी मामलों का योग (22260) है। / The number of teachers can be (3), (4), (5), or (6). The sum of all these cases is (22260).
(5) विशेष विद्यार्थियों को हटाने पर (13) विद्यार्थी बचते हैं। इसलिए \(\binom{13}{7}=1716\) तरीके हैं। / After removing (5) special students (13) students remain. Hence there are \(\binom{13}{7}=1716\) ways.
विषम संख्याएं (13) और सम संख्याएं (12) हैं। तरीके \(\binom{13}{3}\binom{12}{2}=18876\) हैं। / There are (13) odd numbers and (12) even numbers. The ways are \(\binom{13}{3}\binom{12}{2}=18876\).
(3) की (10) गुणज और (20) गैर-गुणज संख्याएं हैं। तरीके \(\binom{10}{3}\binom{20}{2}=22800\) हैं। / There are (10) multiples of (3) and (20) non-multiples. The ways are \(\binom{10}{3}\binom{20}{2}=22800\).
कुल \(\binom{11}{6}=462\) हैं और (4), (5) दोनों हों तो \(\binom{9}{4}=126\) हैं। इसलिए (462-126=336) है। / Total subsets are \(\binom{11}{6}=462\) and those containing both (4), (5) are \(\binom{9}{4}=126\). Hence (462-126=336).
(1) और (2) तय हैं और (3) हट गया है। बाकी (3) तत्व (9) में से चुने जाएंगे इसलिए \(\binom{9}{3}=84\) है। / The elements (1) and (2) are fixed and (3) is excluded. The remaining (3) elements are chosen from (9), so \(\binom{9}{3}=84\).
पास्कल पहचान से \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\) होता है। इसलिए उत्तर \(\binom{12}{5}\) है। / By Pascal's identity \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\). Hence the answer is \(\binom{12}{5}\).
पेन (2), (3) या (4) हो सकते हैं। कुल \(\binom{9}{2}\binom{8}{4}+\binom{9}{3}\binom{8}{3}+\binom{9}{4}\binom{8}{2}=10752\) है। / The number of pens can be (2), (3), or (4). The total is \(\binom{9}{2}\binom{8}{4}+\binom{9}{3}\binom{8}{3}+\binom{9}{4}\binom{8}{2}=10752\).
ठीक (3) पुरुष और (3) महिलाएं चाहिए। तरीके \(\binom{10}{3}\binom{8}{3}=6720\) हैं। / Exactly (3) men and (3) women are needed. The ways are \(\binom{10}{3}\binom{8}{3}=6720\).
कुल \(\binom{15}{6}=5005\) हैं। (0) और (1) विशेष वाले चयन हटाने पर \(5005-\binom{10}{6}-\binom{5}{1}\binom{10}{5}=3535\) है। / Total ways are \(\binom{15}{6}=5005\). Removing selections with (0) and (1) special student gives \(5005-\binom{10}{6}-\binom{5}{1}\binom{10}{5}=3535\).
(5) विशेष में से (3) और बाकी (7) में से (3) चुनेंगे। तरीके \(\binom{5}{3}\binom{7}{3}=350\) हैं। / Choose (3) from (5) special students and (3) from the remaining (7). The ways are \(\binom{5}{3}\binom{7}{3}=350\).
एक रंग तय है और एक हट गया है इसलिए बाकी (4) रंग (9) में से चुनेंगे। तरीके \(\binom{9}{4}=126\) हैं। / One color is fixed and one is removed so choose the remaining (4) colors from (9). The ways are \(\binom{9}{4}=126\).
चयन (3), (4) या (5) उपहारों का होगा। कुल \(\binom{13}{3}+\binom{13}{4}+\binom{13}{5}=2288\) है। / The selection can be of (3), (4), or (5) gifts. The total is \(\binom{13}{3}+\binom{13}{4}+\binom{13}{5}=2288\).
डॉक्टरों की संख्या (4), (5) या (6) होगी। कुल \(\binom{9}{4}\binom{7}{2}+\binom{9}{5}\binom{7}{1}+\binom{9}{6}=3612\) है। / The number of doctors will be (4), (5), or (6). The total is \(\binom{9}{4}\binom{7}{2}+\binom{9}{5}\binom{7}{1}+\binom{9}{6}=3612\).
कुल \(\binom{17}{5}=6188\) हैं। केवल अंग्रेजी \(\binom{8}{5}=56\) और केवल हिंदी \(\binom{9}{5}=126\) हटाने पर (6006) मिलते हैं। / Total ways are \(\binom{17}{5}=6188\). Removing only English \(\binom{8}{5}=56\) and only Hindi \(\binom{9}{5}=126\) gives (6006).
मामले (3), (4), (5) और (6) गणित पुस्तकों के हैं। इनका सही योग (10584) है। / The cases are (3), (4), (5), and (6) mathematics books. Their correct sum is (10584).
कुल \(\binom{11}{5}=462\) हैं और दोनों विशेष साथ हों तो \(\binom{9}{3}=84\) हैं। इसलिए (462-84=378) तरीके हैं। / Total ways are \(\binom{11}{5}=462\) and ways with both special persons are \(\binom{9}{3}=84\). Hence (462-84=378).
टीमों की जोड़ियां \(\binom{14}{2}=91\) हैं। हर जोड़ी के (3) मैच होने से कुल (273) मैच होंगे। / The pairs of teams are \(\binom{14}{2}=91\). With (3) matches for each pair the total is (273).
कुल \(\binom{16}{3}=560\) त्रिक हैं। असफल त्रिक \(\binom{6}{3}+\binom{4}{3}=24\) हैं इसलिए (560-24=536) है। / Total triples are \(\binom{16}{3}=560\). Failed triples are \(\binom{6}{3}+\binom{4}{3}=24\), so (560-24=536).
विशेष वस्तुओं में से (0) या (1) चुनी जा सकती है। कुल \(\binom{5}{0}\binom{9}{5}+\binom{5}{1}\binom{9}{4}=756\) है। / Either (0) or (1) special object can be chosen. The total is \(\binom{5}{0}\binom{9}{5}+\binom{5}{1}\binom{9}{4}=756\).
कप्तान को हटाने पर (9) खिलाड़ी बचते हैं। इसलिए \(\binom{9}{4}=126\) तरीके हैं। / After removing the captain (9) players remain. Hence there are \(\binom{9}{4}=126\) ways.
विषम चयन की संख्या \(2^{9-1}=256\) होती है। सम और विषम चयन बराबर होते हैं। / The number of odd selections is \(2^{9-1}=256\). Even and odd selections are equal.
सम संख्या का चयन (0), (2), (4), (6), (8), (10) सिक्कों का होगा। कुल संख्या \(2^{10-1}=512\) है। / An even selection means (0), (2), (4), (6), (8), or (10) coins. The total number is \(2^{10-1}=512\).
दो निश्चित कार्डों में से (1) चुनें और बाकी (4) कार्ड (10) में से चुनें। तरीके \(\binom{2}{1}\binom{10}{4}=420\) हैं। / Choose (1) of the two fixed cards and (4) cards from the remaining (10). The ways are \(\binom{2}{1}\binom{10}{4}=420\).
वरिष्ठों की संख्या (0), (1) या (2) हो सकती है। कुल \(\binom{7}{0}\binom{9}{5}+\binom{7}{1}\binom{9}{4}+\binom{7}{2}\binom{9}{3}=2772\) है। / The number of seniors can be (0), (1), or (2). The total is \(\binom{7}{0}\binom{9}{5}+\binom{7}{1}\binom{9}{4}+\binom{7}{2}\binom{9}{3}=2772\).
मामले अंतिम (4) में से (2), (3) या (4) चुनने के हैं। कुल \(\binom{4}{2}\binom{6}{4}+\binom{4}{3}\binom{6}{3}+\binom{4}{4}\binom{6}{2}=185\) है। / The cases are choosing (2), (3), or (4) from the last (4). The total is \(\binom{4}{2}\binom{6}{4}+\binom{4}{3}\binom{6}{3}+\binom{4}{4}\binom{6}{2}=185\).
