Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
सभी विशेष शामिल हों तो \(\binom{11}{4}=330\) और सभी बाहर हों तो \(\binom{11}{7}=330\) तरीके हैं। कुल (660) है। / If all special students are included there are \(\binom{11}{4}=330\) ways and if all are excluded there are \(\binom{11}{7}=330\) ways. The total is (660).
(5) खराब कुर्सियां हटाने पर (10) अच्छी कुर्सियां बचती हैं। (8) चुनने के तरीके \(\binom{10}{8}=45\) हैं। / After removing (5) broken chairs (10) good chairs remain. The ways to choose (8) are \(\binom{10}{8}=45\).
असफल त्रिभुज के लिए (10) समरेखीय बिंदुओं में से (3) चुने जाते हैं। इसलिए संख्या \(\binom{10}{3}\) है। / For a failed triangle (3) points are chosen from the (10) collinear points. So the number is \(\binom{10}{3}\).
(3) संख्याएं तय हैं और (2) हट गई हैं। बाकी (5) संख्याएं (13) में से चुनी जाएंगी इसलिए \(\binom{13}{5}=1287\) है। / The (3) numbers are fixed and (2) are excluded. The remaining (5) numbers are chosen from (13), so \(\binom{13}{5}=1287\).
रसायन तय और जीवविज्ञान हट गया है। बाकी (4) विषय (9) में से चुनें और गणित-भौतिकी दोनों वाले \(\binom{7}{2}\) चयन घटाएं तो (105) मिलते हैं। / Chemistry is fixed and biology is excluded. Choose the remaining (4) subjects from (9) and subtract \(\binom{7}{2}\) selections containing both mathematics and physics to get (105).
(a) तय है और (b) हट गया है। (c,d) में से (1) और शेष (9) में से (4) चुनेंगे इसलिए \(\binom{2}{1}\binom{9}{4}=252\) है। / The letter (a) is fixed and (b) is excluded. Choose (1) from (c,d) and (4) from the remaining (9), so \(\binom{2}{1}\binom{9}{4}=252\).
हर रंग की शर्त अलग गिनी जाएगी। तरीके \(\binom{9}{2}\binom{10}{2}\binom{11}{2}=89100\) हैं। / Each color condition is counted separately. The ways are \(\binom{9}{2}\binom{10}{2}\binom{11}{2}=89100\).
विशेष फलों में से (3) और बाकी (8) में से (3) चुनेंगे। तरीके \(\binom{6}{3}\binom{8}{3}=1120\) हैं। / Choose (3) from the special fruits and (3) from the remaining (8). The ways are \(\binom{6}{3}\binom{8}{3}=1120\).
कुल \(\binom{13}{6}=1716\) हैं और कोई विशेष मित्र न जाए तो \(\binom{8}{6}=28\) हैं। इसलिए (1716-28=1688) है। / Total ways are \(\binom{13}{6}=1716\) and if no special friend goes then \(\binom{8}{6}=28\). Hence (1716-28=1688).
पुरस्कार समान हैं इसलिए केवल चयन होगा। तरीकों की संख्या \(\binom{16}{6}=8008\) है। / The prizes are identical so only selection is needed. The number of ways is \(\binom{16}{6}=8008\).
कुल \(\binom{21}{7}=116280\) हैं। सभी सफेद \(\binom{10}{7}=120\) और सभी काली \(\binom{11}{7}=330\) हटाने पर (115830) मिलते हैं। / Total ways are \(\binom{21}{7}=116280\). Removing all-white \(\binom{10}{7}=120\) and all-black \(\binom{11}{7}=330\) gives (115830).
शिक्षक (4), (5), (6) या (7) हो सकते हैं। इन सभी मामलों का योग (136752) है। / The number of teachers can be (4), (5), (6), or (7). The sum of all these cases is (136752).
(7) विशेष विद्यार्थियों को हटाने पर (15) विद्यार्थी बचते हैं। इसलिए \(\binom{15}{8}=6435\) तरीके हैं। / After removing (7) special students (15) students remain. Hence there are \(\binom{15}{8}=6435\) ways.
विषम संख्याएं (18) और सम संख्याएं (17) हैं। तरीके \(\binom{18}{4}\binom{17}{2}=416160\) हैं। / There are (18) odd numbers and (17) even numbers. The ways are \(\binom{18}{4}\binom{17}{2}=416160\).
(6) की (8) गुणज और (40) गैर-गुणज संख्याएं हैं। तरीके \(\binom{8}{4}\binom{40}{2}=54600\) हैं। / There are (8) multiples of (6) and (40) non-multiples. The ways are \(\binom{8}{4}\binom{40}{2}=54600\).
(1) तय है इसलिए (5) तत्व (12) में से चुनेंगे। (5), (6) दोनों होने पर \(\binom{10}{3}=120\) घटाने से (792-120=672) मिलता है। / The element (1) is fixed so choose (5) elements from (12). Subtracting \(\binom{10}{3}=120\) cases containing both (5), (6) gives (792-120=672).
(1) और (2) तय हैं तथा (3), (4) हट गए हैं। बाकी (5) तत्व (10) में से चुने जाएंगे इसलिए \(\binom{10}{5}=252\) है। / The elements (1), (2) are fixed and (3), (4) are excluded. The remaining (5) elements are chosen from (10), so \(\binom{10}{5}=252\).
पास्कल पहचान से \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\) होता है। इसलिए उत्तर \(\binom{14}{7}\) है। / By Pascal's identity \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\). Hence the answer is \(\binom{14}{7}\).
पेन (2), (3), (4) या (5) हो सकते हैं। कुल \(\binom{10}{2}\binom{8}{5}+\binom{10}{3}\binom{8}{4}+\binom{10}{4}\binom{8}{3}+\binom{10}{5}\binom{8}{2}=29736\) है। / The number of pens can be (2), (3), (4), or (5). The total is \(\binom{10}{2}\binom{8}{5}+\binom{10}{3}\binom{8}{4}+\binom{10}{4}\binom{8}{3}+\binom{10}{5}\binom{8}{2}=29736\).
ठीक (4) पुरुष और (3) महिलाएं चाहिए। तरीके \(\binom{12}{4}\binom{10}{3}=59400\) हैं। / Exactly (4) men and (3) women are needed. The ways are \(\binom{12}{4}\binom{10}{3}=59400\).
विशेष छात्र (3), (4), (5) या (6) हो सकते हैं। कुल \(\binom{6}{3}\binom{11}{5}+\binom{6}{4}\binom{11}{4}+\binom{6}{5}\binom{11}{3}+\binom{6}{6}\binom{11}{2}=15235\) है। / The number of special students can be (3), (4), (5), or (6). The total is \(\binom{6}{3}\binom{11}{5}+\binom{6}{4}\binom{11}{4}+\binom{6}{5}\binom{11}{3}+\binom{6}{6}\binom{11}{2}=15235\).
(6) विशेष में से (3) और बाकी (9) में से (4) चुनेंगे। तरीके \(\binom{6}{3}\binom{9}{4}=2520\) हैं। / Choose (3) from (6) special students and (4) from the remaining (9). The ways are \(\binom{6}{3}\binom{9}{4}=2520\).
एक रंग तय और एक हट गया है। बाकी (5) रंग (11) में से चुनें और दोनों अन्य रंग न आने वाले \(\binom{9}{5}\) चयन घटाएं तो (336) मिलेगा। / One color is fixed and one is excluded. Choose the remaining (5) colors from (11) and subtract \(\binom{9}{5}\) selections missing both other colors to get (336).
चयन (4), (5) या (6) उपहारों का होगा। कुल \(\binom{15}{4}+\binom{15}{5}+\binom{15}{6}=9373\) है। / The selection can be of (4), (5), or (6) gifts. The total is \(\binom{15}{4}+\binom{15}{5}+\binom{15}{6}=9373\).
डॉक्टरों की संख्या (4), (5), (6) या (7) होगी। कुल \(\binom{11}{4}\binom{8}{3}+\binom{11}{5}\binom{8}{2}+\binom{11}{6}\binom{8}{1}+\binom{11}{7}=35442\) है। / The number of doctors will be (4), (5), (6), or (7). The total is \(\binom{11}{4}\binom{8}{3}+\binom{11}{5}\binom{8}{2}+\binom{11}{6}\binom{8}{1}+\binom{11}{7}=35442\).
अंग्रेजी पुस्तकों की संख्या (2), (3), (4) या (5) हो सकती है। सभी वैध मामलों का योग (108900) है। / The number of English books can be (2), (3), (4), or (5). The sum of all valid cases is (108900).
