A. क्योंकि \(p^2\) सम है, इसलिए (p) सम है/Because \(p^2\) is even, so (p) is even
Step 1
Concept
From \(p^2=2q^2\), \(p^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
If the square of an integer is even, the integer itself is even, so (p=2k) can be written.
Step 3
Exam Tip
In exams, give the reason for evenness before writing (p=2k). चरण 1: \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम मिलता है। चरण 2: किसी पूर्णांक का वर्ग सम हो तो वह पूर्णांक भी सम होता है, इसलिए (p=2k) लिखा जा सकता है। चरण 3: परीक्षा में (p=2k) लिखने से पहले सम होने का कारण जरूर दें।
A. क्योंकि \(q^2\) सम है, इसलिए (q) सम होगा/Because \(q^2\) is even, so (q) will be even
Step 1
Concept
From \(q^2=2r^2\), \(q^2\) is a multiple of (2).
Step 2
Why this answer is correct
So \(q^2\) is even and the integer (q) is also even.
Step 3
Exam Tip
This is the second evenness conclusion in the proof. चरण 1: \(q^2=2r^2\) से \(q^2\) (2) का गुणज है। चरण 2: इसलिए \(q^2\) सम है और पूर्णांक (q) भी सम होगा। चरण 3: यह प्रमाण का दूसरा समपन निष्कर्ष है।
Here divisibility by (3), not evenness, is the main point. चरण 1: \(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। चरण 2: (3) अभाज्य है, इसलिए \(3\mid p\) होगा। चरण 3: यहाँ समपन नहीं, बल्कि (3) से विभाज्यता मुख्य है।
A. मान्यता में विरोधाभास है/There is a contradiction in the assumption
Step 1
Concept
Coprime numbers cannot both be even.
Step 2
Why this answer is correct
Both being even means (2) is a common factor.
Step 3
Exam Tip
Hence the rational assumption is proved false. चरण 1: सहअभाज्य संख्याएँ दोनों सम नहीं हो सकतीं। चरण 2: दोनों सम होने का मतलब है कि (2) साझा गुणनखंड है। चरण 3: इसलिए परिमेय मान्यता गलत सिद्ध होती है।
A. अंश और हर दोनों सम निकलते हैं/Numerator and denominator both become even
Step 1
Concept
For \(\sqrt{2}\), the common factor is (2), so numerator and denominator become even.
Step 2
Why this answer is correct
For \(\sqrt{3}\), the common factor is (3), so evenness is not the direct point.
Step 3
Exam Tip
Identify the related prime for each root. चरण 1: \(\sqrt{2}\) में साझा गुणनखंड (2) आता है, इसलिए अंश और हर सम होते हैं। चरण 2: \(\sqrt{3}\) में साझा गुणनखंड (3) आता है, समपन जरूरी नहीं। चरण 3: अलग-अलग मूलों में संबंधित अभाज्य को पहचानें।
A. \(q^2=2k^2\), इसलिए (q) सम है/\(q^2=2k^2\), so (q) is even
Step 1
Concept
From \(p^2=2q^2\) and (p=2k), we get \(4k^2=2q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Simplifying gives \(q^2=2k^2\), so \(q^2\) and (q) are even.
Step 3
Exam Tip
This second evenness completes the contradiction. चरण 1: \(p^2=2q^2\) और (p=2k) रखने पर \(4k^2=2q^2\) मिलता है। चरण 2: सरल करने पर \(q^2=2k^2\), इसलिए \(q^2\) सम और (q) सम है। चरण 3: यही दूसरा समपन विरोधाभास पूरा करता है।
A. \(\sqrt{2}\) में समता का तर्क मुख्य है, जबकि \(\sqrt{3}\) में (3) के अभाज्य गुणनखंड का तर्क मुख्य है/Evenness is central in \(\sqrt{2}\), while prime factor (3) is central in \(\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
In \(\sqrt{2}\), \(p^2=2q^2\) gives the evenness argument.
Step 2
Why this answer is correct
In \(\sqrt{3}\), the primality of (3) gives the divisibility argument.
Step 3
Exam Tip
Choose the reasoning according to the number under the root. चरण 1: \(\sqrt{2}\) में \(p^2=2q^2\) से समता का तर्क आता है। चरण 2: \(\sqrt{3}\) में (3) अभाज्य होने से विभाज्यता का तर्क आता है। चरण 3: हर प्रमाण में मूल के अंदर की संख्या के अनुसार तर्क चुनें।
A. परिमेय मानना, वर्ग करना, (p) और (q) दोनों सम पाना, विरोधाभास लिखना/Assume rational, square, find both (p) and (q) even, write contradiction
Step 1
Concept
In contradiction, first assume \(\sqrt{2}\) rational.
Step 2
Why this answer is correct
Squaring gives evenness conclusions.
Step 3
Exam Tip
Finding both even contradicts the coprime condition. चरण 1: विरोधाभास विधि में पहले \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानते हैं। चरण 2: वर्ग करने से समता के निष्कर्ष मिलते हैं। चरण 3: दोनों सम मिलना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास देता है।
A. क्योंकि \(\sqrt{2}=2\) होता है/Because \(\sqrt{2}=2\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}=2\) is false because \(2^2=4\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct proof uses \(a^2=2b^2\) to get evenness and contradiction.
Step 3
Exam Tip
Avoid writing false equalities. चरण 1: \(\sqrt{2}=2\) गलत है क्योंकि \(2^2=4\) होता है। चरण 2: सही प्रमाण में \(a^2=2b^2\) से समता और विरोधाभास मिलता है। चरण 3: गलत बराबरी लिखने से बचें।
A. परिमेय मानना, वर्ग करना, समता से विरोधाभास पाना/Assume rational, square, get contradiction through evenness
Step 1
Concept
First assume \(\sqrt{2}\) is rational.
Step 2
Why this answer is correct
Then square and use \(a^2=2b^2\) to get evenness results.
Step 3
Exam Tip
Finally, the coprime condition gives a contradiction. चरण 1: पहले \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानते हैं। चरण 2: फिर वर्ग करके \(a^2=2b^2\) से समता के निष्कर्ष लेते हैं। चरण 3: अंत में सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास मिलता है।
B. (n) पूर्ण वर्ग नहीं है/(n) is not a perfect square
Step 1
Concept
The square root of a perfect square is an integer.
Step 2
Why this answer is correct
If (n) is not a perfect square, then \(\sqrt{n}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Do not judge only by evenness or primality; check whether it is a perfect square. चरण 1: किसी पूर्ण वर्ग का वर्गमूल पूर्णांक होता है। चरण 2: यदि (n) पूर्ण वर्ग नहीं है, तो \(\sqrt{n}\) अपरिमेय होता है। चरण 3: केवल सम या अभाज्य देखकर निर्णय न लें; पूर्ण वर्ग की जाँच करें।
A. क्योंकि (2) की घात सम नहीं है/Because the exponent of (2) is not even
Step 1
Concept
A square root is an integer only when all prime exponents are even.
Step 2
Why this answer is correct
In \(2^3 \times 3^4\), the exponent of (2) is (3), which is odd.
Step 3
Exam Tip
In square-root questions, check the evenness of each exponent. चरण 1: वर्गमूल पूर्ण संख्या तभी होता है जब सभी अभाज्य घातें सम हों। चरण 2: \(2^3 \times 3^4\) में (2) की घात (3) है, जो विषम है। चरण 3: वर्गमूल के प्रश्न में हर घात की समता जांचें।
An even number must contain (2) in its prime factorisation.
Step 2
Why this answer is correct
Only the fourth option contains (2), so it represents an even number.
Step 3
Exam Tip
You do not need to calculate the whole number to check evenness. चरण 1: सम संख्या के अभाज्य गुणनखंडन में (2) अवश्य होता है। चरण 2: केवल चौथे विकल्प में (2) है, इसलिए वही सम संख्या दर्शाता है। चरण 3: समता जांचने के लिए पूरी संख्या निकालने की जरूरत नहीं होती।
A. क्योंकि सभी घातें सम नहीं हैं/Because all exponents are not even
Step 1
Concept
The square root of a number is an integer only when all prime exponents are even.
Step 2
Why this answer is correct
In \(2^5 \times 3\), the exponents are (5) and (1), both odd.
Step 3
Exam Tip
For square-root questions, check evenness of exponents first. चरण 1: किसी संख्या का वर्गमूल पूर्ण संख्या तभी होता है जब सभी अभाज्य घातें सम हों। चरण 2: \(2^5 \times 3\) में घात (5) और (1) हैं, दोनों विषम हैं। चरण 3: वर्गमूल से जुड़े प्रश्नों में घातों की समता सबसे पहले देखें।
Only the third option contains (2), so it represents an even number.
Step 3
Exam Tip
To check evenness, calculating the whole number is not necessary. चरण 1: सम संख्या में (2) अभाज्य गुणनखंड अवश्य होता है। चरण 2: केवल तीसरे विकल्प में (2) मौजूद है, इसलिए वही सम संख्या को दर्शाता है। चरण 3: समता जांचने के लिए पूरी संख्या निकालने की जरूरत नहीं है।
A number is even if its prime factorisation contains (2).
Step 2
Why this answer is correct
Only the first option contains (2), so it represents an even number.
Step 3
Exam Tip
To check evenness, look only for the factor (2). चरण 1: कोई संख्या सम तभी होती है जब उसमें (2) अभाज्य गुणनखंड हो। चरण 2: केवल पहले विकल्प में (2) मौजूद है, इसलिए वह सम संख्या है। चरण 3: समता जांचने के लिए पूरे गुणा की जरूरत नहीं, केवल (2) देखें।
Since \(140=2^2\times5\times7\), \(19600=2^4\times5^2\times7^2\).
Step 3
Exam Tip
Check evenness of exponents in square numbers. चरण 1: \(19600=140^2\) पहचाना जा सकता है। चरण 2: \(140=2^2\times5\times7\), इसलिए \(19600=2^4\times5^2\times7^2\)। चरण 3: वर्ग संख्या में घातों की समता जांचें।
