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Subjects
Class 11 Mathematics Permutations and Combinations Factorial notation Expert Level 55

यदि \( \frac{(n+2)!}{n!}+\frac{n!}{(n-2)!}=114 \), तो (n) का मान क्या है?

If \( \frac{(n+2)!}{n!}+\frac{n!}{(n-2)!}=114 \), what is the value of (n)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
Correct answer and explanation
Correct Answer

B. 7

Explanation

Simple Explanation

\(\frac{(n+2)!}{n!}=(n+2)(n+1)\) तथा \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)\)। इसलिए समीकरण \((n+2)(n+1)+n(n-1)=114\) होगा। इसे सरल करने पर \(2n^2+2n+2=114\), अर्थात \(n^2+n-56=0\) मिलता है। अतः \((n+8)(n-7)=0\), जिससे \(n=7\) या \(-8\)। फैक्टोरियल के लिए \(n\ge2\) होना चाहिए, इसलिए \(n=7\) सही है। \(n=8\) रखने पर बायाँ पक्ष 146 आता है, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्नों में पहले समान पदों को काटकर गुणनखंडों के रूप में लिखें। / \(\frac{(n+2)!}{n!}=(n+2)(n+1)\) and \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)\). Thus, \((n+2)(n+1)+n(n-1)=114\). Simplifying gives \(2n^2+2n+2=114\), or \(n^2+n-56=0\). Hence, \((n+8)(n-7)=0\), so \(n=7\) or \(-8\). Since the factorial expression requires \(n\ge2\), the valid value is \(n=7\). Substituting \(n=8\) gives 146 on the left-hand side, so it is a close but incorrect option. Exam tip: cancel factorials first by expanding only the required consecutive factors.

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Correct Answer: B. 7. Explanation: \(\frac{(n+2)!}{n!}=(n+2)(n+1)\) तथा \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)\)। इसलिए समीकरण \((n+2)(n+1)+n(n-1)=114\) होगा। इसे सरल करने पर \(2n^2+2n+2=114\), अर्थात \(n^2+n-56=0\) मिलता है। अतः \((n+8)(n-7)=0\), जिससे \(n=7\) या \(-8\)। फैक्टोरियल के लिए \(n\ge2\) होना चाहिए, इसलिए \(n=7\) सही है। \(n=8\) रखने पर बायाँ पक्ष 146 आता है, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्नों में पहले समान पदों को काटकर गुणनखंडों के रूप में लिखें। / \(\frac{(n+2)!}{n!}=(n+2)(n+1)\) and \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)\). Thus, \((n+2)(n+1)+n(n-1)=114\). Simplifying gives \(2n^2+2n+2=114\), or \(n^2+n-56=0\). Hence, \((n+8)(n-7)=0\), so \(n=7\) or \(-8\). Since the factorial expression requires \(n\ge2\), the valid value is \(n=7\). Substituting \(n=8\) gives 146 on the left-hand side, so it is a close but incorrect option. Exam tip: cancel factorials first by expanding only the required consecutive factors.