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Subjects
Class 11 Mathematics Permutations and Combinations Factorial notation Hard Level 57

यदि \( \frac{(n+1)!+n!}{(n-1)!}=63 \), तो (n) का मान क्या होगा?

If \( \frac{(n+1)!+n!}{(n-1)!}=63 \), what will be the value of (n)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
Correct answer and explanation
Correct Answer

C. 7

Explanation

Simple Explanation

\((n+1)!=(n+1)n!\) और \(n!=n(n-1)!\) का प्रयोग करने पर \[ \frac{(n+1)!+n!}{(n-1)!}=\frac{n![(n+1)+1]}{(n-1)!}=n(n+2). \] अतः \(n(n+2)=63\), यानी \(n^2+2n-63=0\)। इससे \((n-7)(n+9)=0\) मिलता है। फैक्टोरियल के लिए \(n\) ऋणात्मक पूर्णांक नहीं हो सकता, इसलिए \(n=7\) है। \(n=-9\) बीजगणितीय मूल है, पर फैक्टोरियल के लिए मान्य नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले भिन्नों में पहले उन्हें सबसे छोटे फैक्टोरियल, यहाँ \((n-1)!\), के रूप में लिखकर काटें। / Using \((n+1)!=(n+1)n!\) and \(n!=n(n-1)!\), \[ \frac{(n+1)!+n!}{(n-1)!}=\frac{n![(n+1)+1]}{(n-1)!}=n(n+2). \] Thus, \(n(n+2)=63\), or \(n^2+2n-63=0\). This gives \((n-7)(n+9)=0\). Since a factorial is not defined for a negative integer, \(n=-9\) is invalid; hence \(n=7\). Exam tip: in factorial fractions, first express terms using the smallest factorial present, here \((n-1)!\), and then cancel.

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यदि \( \frac{(n+1)!+n!}{(n-1)!}=63 \), तो (n) का मान क्या होगा? / If \( \frac{(n+1)!+n!}{(n-1)!}=63 \), what will be the value of (n)?

Correct Answer: C. 7. Explanation: \((n+1)!=(n+1)n!\) और \(n!=n(n-1)!\) का प्रयोग करने पर \[ \frac{(n+1)!+n!}{(n-1)!}=\frac{n![(n+1)+1]}{(n-1)!}=n(n+2). \] अतः \(n(n+2)=63\), यानी \(n^2+2n-63=0\)। इससे \((n-7)(n+9)=0\) मिलता है। फैक्टोरियल के लिए \(n\) ऋणात्मक पूर्णांक नहीं हो सकता, इसलिए \(n=7\) है। \(n=-9\) बीजगणितीय मूल है, पर फैक्टोरियल के लिए मान्य नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले भिन्नों में पहले उन्हें सबसे छोटे फैक्टोरियल, यहाँ \((n-1)!\), के रूप में लिखकर काटें। / Using \((n+1)!=(n+1)n!\) and \(n!=n(n-1)!\), \[ \frac{(n+1)!+n!}{(n-1)!}=\frac{n![(n+1)+1]}{(n-1)!}=n(n+2). \] Thus, \(n(n+2)=63\), or \(n^2+2n-63=0\). This gives \((n-7)(n+9)=0\). Since a factorial is not defined for a negative integer, \(n=-9\) is invalid; hence \(n=7\). Exam tip: in factorial fractions, first express terms using the smallest factorial present, here \((n-1)!\), and then cancel.