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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Medium Level 16

एक विद्यार्थी दावा करता है कि यदि किसी पूर्णांक का वर्ग 2 से विभाज्य है, तो वह पूर्णांक भी 2 से विभाज्य होगा। यह कथन केवल \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता सिद्ध करने में कैसे उपयोगी है?

A student claims that if the square of an integer is divisible by 2, then the integer itself is divisible by 2. How is this statement useful in proving the irrationality of \(\sqrt{2}\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
Correct answer and explanation
Correct Answer

A. It shows that both numerator and denominator in a supposed lowest-form fraction for \(\sqrt{2}\) are even.

Explanation

Simple Explanation

मान लें \(\sqrt{2}=p/q\), जहाँ \(p,q\) सह-अभाज्य हैं। तब \(p^2=2q^2\), इसलिए \(p^2\) सम है और \(p\) भी सम होगा। \(p=2k\) रखने पर \(q\) भी सम निकलता है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: विरोधाभास के लिए भिन्न को पहले न्यूनतम रूप में लें। / Assume \(\sqrt{2}=p/q\) with coprime integers \(p,q\). Then \(p^2=2q^2\), so \(p^2\), and hence \(p\), is even. Putting \(p=2k\) makes \(q\) even too, contradicting coprimality. Exam tip: always begin the contradiction proof with the fraction in lowest terms.

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Correct Answer: A. It shows that both numerator and denominator in a supposed lowest-form fraction for \(\sqrt{2}\) are even.. Explanation: मान लें \(\sqrt{2}=p/q\), जहाँ \(p,q\) सह-अभाज्य हैं। तब \(p^2=2q^2\), इसलिए \(p^2\) सम है और \(p\) भी सम होगा। \(p=2k\) रखने पर \(q\) भी सम निकलता है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: विरोधाभास के लिए भिन्न को पहले न्यूनतम रूप में लें। / Assume \(\sqrt{2}=p/q\) with coprime integers \(p,q\). Then \(p^2=2q^2\), so \(p^2\), and hence \(p\), is even. Putting \(p=2k\) makes \(q\) even too, contradicting coprimality. Exam tip: always begin the contradiction proof with the fraction in lowest terms.