एक विद्यार्थी कहता है कि यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं, तो \(p\) के 3 से विभाज्य होने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य होगा। यह कथन किस निष्कर्ष की ओर ले जाता है?
A student says that if \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime integers, then when \(p\) is divisible by 3, \(q\) will also be divisible by 3. What conclusion does this statement lead to?
Correct answer and explanation
A. यह मान्यता कि \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं, गलत सिद्ध होती है।The assumption that \(p\) and \(q\) are coprime is contradicted.
Simple Explanation
\(\sqrt{3}=p/q\) मानने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है, इसलिए 3, \(p\) को विभाजित करता है। फिर \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य निकलता है। अतः दोनों में 3 उभयनिष्ठ गुणनखंड है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: विरोधाभास मिलते ही प्रारम्भिक परिमेय मान्यता असत्य लिखें। / Assuming \(\sqrt{3}=p/q\) gives \(p^2=3q^2\), so 3 divides \(p\). Put \(p=3k\); then \(q\) is also divisible by 3. Thus they have a common factor 3, contradicting coprimality. Exam tip: after this contradiction, state that the rationality assumption is false.
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