विरोधाभास विधि से \(\sqrt{2}\) के अपरिमेय होने के प्रमाण में, यदि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) माना जाए और \(p,q\) सहभाज्य हों, तो कौन-सा निष्कर्ष प्रारम्भिक मान्यता का विरोधाभास उत्पन्न करता है?
In the proof by contradiction that \(\sqrt{2}\) is irrational, if \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) is assumed where \(p,q\) are coprime, which conclusion creates a contradiction with the initial assumption?
Correct answer and explanation
A. p और q दोनों सम हैंBoth p and q are even
Simple Explanation
\(2q^2=p^2\) से \(p^2\) सम, अतः \(p\) सम होता है। \(p=2k\) रखने पर \(q\) भी सम मिलता है। इसलिए दोनों में 2 समान गुणनखंड है, जो सहभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: ‘दोनों सम’ ही विरोधाभास है। / From \(2q^2=p^2\), \(p^2\) is even, so \(p\) is even. Put \(p=2k\); then \(q\) also becomes even. Thus both share factor 2, contradicting coprimality. Exam tip: identify the common factor as the contradiction.
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