फलन \(f(x)=\frac{x^2+4x+8}{x^2+4x+5}\) का परास क्या है?

Correct Answer: A. \((1,4]\). Explanation: हर वास्तविक \(x\) के लिए \(x^2+4x+5=(x+2)^2+1>0\), अतः फलन का परिभाषा-क्षेत्र \(\mathbb{R}\) है। \(t=(x+2)^2\ge0\) रखने पर \(f(x)=\frac{t+4}{t+1}=1+\frac{3}{t+1}\) मिलता है। \(t=0\) पर \(f(x)=4\) प्राप्त होता है, जबकि \(t\to\infty\) होने पर मान \(1\) के निकट जाता है, पर \(1\) कभी प्राप्त नहीं होता। इसलिए परास \((1,4]\) है। विकल्प B में \(1\) को शामिल किया गया है और विकल्प C में प्राप्त होने वाले मान \(4\) को हटाया गया है। परीक्षा-युक्ति: परिमेय फलनों में वर्ग पूर्ण करके नए चर की सीमा निर्धारित करें। / For every real \(x\), \(x^2+4x+5=(x+2)^2+1>0\), so the domain is \(\mathbb{R}\). Put \(t=(x+2)^2\ge0\). Then \(f(x)=\frac{t+4}{t+1}=1+\frac{3}{t+1}\). At \(t=0\), the value \(4\) is attained. As \(t\to\infty\), the function approaches \(1\), but it never equals \(1\). Hence the range is \((1,4]\). Option B incorrectly includes \(1\), while option C excludes the attained value \(4\). Exam tip: For such rational functions, complete the square and determine the allowed range of the substituted variable.