फलन \(f(x)=\log_{e}\left(\frac{x-2}{7-x}\right)\) का प्रांत क्या है?

Correct Answer: A. \((2,7)\). Explanation: प्राकृतिक लघुगणक के लिए उसका तर्क धनात्मक होना चाहिए और हर शून्य नहीं हो सकता। इसलिए \(\frac{x-2}{7-x}>0\) हल करते हैं। \(x=2\) और \(x=7\) महत्वपूर्ण बिंदु हैं; संकेत-जाँच से धनात्मक अंतराल केवल \((2,7)\) मिलता है। दोनों सिरों को शामिल नहीं किया जा सकता—\(x=2\) पर लघुगणक का तर्क शून्य और \(x=7\) पर हर शून्य हो जाता है। परीक्षा-युक्ति: भिन्नात्मक असमिकाओं में अंश और हर के शून्य बिंदु चिह्न-तालिका में अवश्य लें। / For a natural logarithm, its argument must be positive, and the denominator must be nonzero. Thus, solve \(\frac{x-2}{7-x}>0\). The critical points are \(x=2\) and \(x=7\); a sign check shows that the expression is positive only on \((2,7)\). Neither endpoint is included: at \(x=2\) the logarithm argument is zero, while at \(x=7\) the denominator is zero. Exam tip: for a rational inequality, include both numerator and denominator zeros as critical points, then test the intervals.