फलन \(f(x)=\sqrt{\frac{5-x}{x+1}}\) का प्रांत ज्ञात कीजिए।

Correct Answer: A. \((-1,5]\). Explanation: वर्गमूल के अंदर की मात्रा गैर-ऋणात्मक होनी चाहिए और हर शून्य नहीं हो सकता। इसलिए \(\frac{5-x}{x+1}\ge 0\) तथा \(x\ne -1\)। महत्त्वपूर्ण बिंदु \(-1\) और \(5\) हैं। अंतरालों में चिह्न जाँचने पर \((-1,5]\) प्राप्त होता है; \(5\) शामिल है क्योंकि वहाँ भिन्न का मान 0 है, जबकि \(-1\) शामिल नहीं है क्योंकि हर शून्य हो जाता है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले परिमेय व्यंजक में पहले हर के शून्य होने वाले बिंदु को अलग करें, फिर चिह्न-आरेख बनाकर जाँच करें। / The expression under the square root must be non-negative, and the denominator cannot be zero. Thus, \(\frac{5-x}{x+1}\ge 0\) with \(x\ne -1\). The critical points are \(-1\) and \(5\). Sign testing across the intervals gives \((-1,5]\). The endpoint \(5\) is included because the fraction becomes 0, whereas \(-1\) is excluded because it makes the denominator zero. Exam tip: for a rational expression under a square root, first mark the denominator’s zero and the numerator’s zero, then perform an interval sign test.